Question

xy=6,x=1,x=4,y=0 вокруг оси ox,oy (Объём тел полученных при вращении фигуры,ограниченной указанными линиями)

Answer 1

Ответ:

27 $\pi$

Пошаговое объяснение:

см рис

f(x) = y(x) = 6/x

V = $\pi \int\limits^4_1 {(36/x^2)} \, dx$      =   $\pi$ * 36* (-1/4 - ( -1/1 )) = 36  $\pi$ *3/4 = 27 $\pi$

Answer 2

Для вычисления объема тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси, вам понадобится использовать интегралы и метод цилиндрических оболочек или метод дисковых шайб.

Для начала, давайте определим форму фигуры, ограниченной линиями:

У вас есть следующие уравнения:

1. xy = 6
2. x = 1
3. x = 4
4. y = 0

Прямоугольная область, ограниченная линиями x = 1, x = 4 и y = 0, может быть выражена как 1 <= x <= 4 и 0 <= y <= 6/x.

Теперь, чтобы найти объем тела, полученного при вращении этой области вокруг оси OX, вы можете использовать метод дисковых шайб. Формула объема в этом случае будет следующей:

$V = \pi \int_{1}^{4} y^2 dx$

Теперь вы можете подставить значение y из уравнения xy = 6 и проинтегрировать это выражение от x = 1 до x = 4:

$V = \pi \int_{1}^{4} \left(\frac{6}{x}\right)^2 dx$

$V = \pi \int_{1}^{4} \frac{36}{x^2} dx$

$V = 36\pi \int_{1}^{4} \frac{1}{x^2} dx$

Теперь выполните интеграцию:

$V = 36\pi \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{4}$

$V = 36\pi \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{1}\right)$

$V = 36\pi \left(-\frac{1}{4} + 1\right)$

$V = 36\pi \left(\frac{3}{4}\right)$

$V = 27\pi$

Итак, объем тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной указанными линиями, вокруг оси OX, равен 27π кубических единиц.