Question

Найдите сумму радиусов двух окружностей: вписанной в прямоугольный треугольник, сумма катетов которого равна 20 см, и описанной около него.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:это вписанная окружность(подходит для любого треугольника ) r=$\frac{2S}{P}$ ,описанная равна половине гипотенузы (работает только для прямоугольного треугольника ) так как вы дали только периметр ее не получится решить поэтому я дал только формулы

Answer 2

Давайте обозначим:

• $r_{\text{впис}}$ - радиус вписанной окружности,
• $r_{\text{опис}}$ - радиус описанной окружности,
• $a$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника (сумма которых равна 20 см),
• $c$ - гипотенуза прямоугольного треугольника.

Из условия известно, что $a + b = 20$ см.

Также, из свойств треугольника, мы имеем:

• $a^2 + b^2 = c^2$ (теорема Пифагора),
• $r_{\text{впис}} = \frac{{a + b - c}}{2}$ (формула радиуса вписанной окружности для прямоугольного треугольника),
• $r_{\text{опис}} = \frac{c}{2}$ (формула радиуса описанной окружности для прямоугольного треугольника).

Рассмотрим свойства вписанной и описанной окружностей для прямоугольного треугольника:

1. Для вписанной окружности: $r_{\text{впис}} = \frac{{a + b - c}}{2}$ $r_{\text{впис}} = \frac{{20 - c}}{2}$

2. Для описанной окружности: $r_{\text{опис}} = \frac{c}{2}$

Теперь нам нужно найти $c$, используя теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$ $(20 - b)^2 + b^2 = c^2$ $400 - 40b + 2b^2 + b^2 = c^2$ $3b^2 - 40b + 400 = c^2$

Теперь зная $c^2$, мы можем найти $r_{\text{впис}}$ и $r_{\text{опис}}$ и найти их сумму:

$r_{\text{впис}} = \frac{{20 - \sqrt{3b^2 - 40b + 400}}}{2}$ $r_{\text{опис}} = \frac{{\sqrt{3b^2 - 40b + 400}}}{2}$

Теперь найдем сумму $r_{\text{впис}}$ и $r_{\text{опис}}$:

$r_{\text{впис}} + r_{\text{опис}} = \frac{{20 - \sqrt{3b^2 - 40b + 400}}}{2} + \frac{{\sqrt{3b^2 - 40b + 400}}}{2}$

Таким образом, сумма радиусов вписанной и описанной окружностей равна:

$r_{\text{впис}} + r_{\text{опис}} = \frac{{20}}{2} = 10$