Question

Помогите, пожалуйста, решить систему дифференциальных уравнений: x' = 5x + 4y y' = 2x + 3y

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для решения данной системы дифференциальных уравнений можно воспользоваться методом разделения переменных. Ваша система имеет следующий вид:

1. x' = 5x + 4y
2. y' = 2x + 3y

Давайте начнем с решения первого уравнения (1):

x' = 5x + 4y

Разделим обе стороны уравнения на x:

(x' / x) = 5 + (4y / x)

Теперь проинтегрируем обе стороны. Интеграл от (x' / x) по x' даст ln|x|, а интеграл от (4y / x) по y даст 4ln|y|:

ln|x| = 5t + 4ln|y| + C1

где C1 - произвольная постоянная.

Теперь рассмотрим второе уравнение (2):

y' = 2x + 3y

Разделим обе стороны на y:

(y' / y) = 2x / y + 3

Теперь проинтегрируем обе стороны. Интеграл от (y' / y) по y' даст ln|y|, а интеграл от (2x / y + 3) по x даст 2ln|x| + 3t + C2:

ln|y| = 2ln|x| + 3t + C2

где C2 - ещё одна произвольная постоянная.

Теперь у нас есть два уравнения с двумя произвольными постоянными, C1 и C2. Для поиска частного решения, объединим эти два уравнения:

ln|x| - 2ln|y| = 5t + 3t + C1 - C2

Сгруппируем константы:

ln|x| - 2ln|y| = 8t + (C1 - C2)

Теперь можем использовать свойства натуральных логарифмов:

ln(|x| / |y|^2) = 8t + (C1 - C2)

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|x| / |y|^2 = e^(8t + (C1 - C2))

|x| / |y|^2 = C * e^(8t)

где C = e^(C1 - C2) - это также постоянная.

Теперь мы получили общее решение системы дифференциальных уравнений. Вы можете выбрать конкретное значение постоянной C, чтобы получить частное решение.