Question

Помогите пожалуйста сделать дифференциальное уравнение: y'(x^2-4)=2xy , y(0)=0.

Answer 1

Ответ:

$y'\, (x^2-4)=2xy\ \ ,\ \ \ y(0)=0\\\\y'=\dfrac{2xy}{x^2-4}\ \ ,\ \ \ \displaystyle \int \frac{dy}{y}=\int \frac{2x\, dx}{x^2-4}\ \ ,\\\\\\ln|y|=ln|x^2-4|+lnC\ \ ,\ \ \ y>0\ ,\ x^2-4>0\ ,\\\\\boxed{\ y=C(x^2-4)\ }\ \ ,\ \ \ y>0\ \ ,\ \ x\in (-\infty;-2)\cup (\, 2;+\infty )$

Начальные условия заданы неверно, так как  у≠0  и  х≠0 .

Answer 2

Конечно, мы можем решить это дифференциальное уравнение методом разделения переменных. Данное уравнение выглядит следующим образом:

$y'(x^2 - 4) = 2xy$

Для начала, разделим обе стороны уравнения на выражение $(x^2 - 4)$:

$\frac{y'}{y} = \frac{2x}{x^2 - 4}$

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения. Интеграл слева будет интегралом по $y$, а справа - по $x$:

$\int \frac{y'}{y} \, dy = \int \frac{2x}{x^2 - 4} \, dx$

Интеграл слева - это интеграл от $\frac{1}{y}$, который равен $\ln|y| + C_1$, где $C_1$ - постоянная интеграции. Интеграл справа можно разложить на частные дроби:

$\int \frac{2x}{x^2 - 4} \, dx = \int \left(\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}\right) \, dx$

Здесь $A$ и $B$ - неизвестные коэффициенты. Разложим на частные дроби и найдем значения $A$ и $B$:

$2x = A(x + 2) + B(x - 2)$

Теперь подставим $x = 2$:

$2 \cdot 2 = A(2 + 2) + B(2 - 2)$ $4 = 4A$ $A = 1$

А теперь подставим $x = -2$:

$2 \cdot (-2) = A(-2 + 2) + B(-2 - 2)$ $-4 = -4B$ $B = 1$

Таким образом, $A = 1$ и $B = 1$. Теперь мы можем записать интеграл справа:

$\int \frac{2x}{x^2 - 4} \, dx = \int \left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}\right) \, dx$

$= \ln|x - 2| + \ln|x + 2| + C_2$

Где $C_2$ - ещё одна постоянная интеграции.

Итак, мы имеем:

$\ln|y| + C_1 = \ln|x - 2| + \ln|x + 2| + C_2$

Теперь объединим логарифмы, используя свойство логарифмов $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$:

$\ln|y| + C_1 = \ln|x - 2||x + 2| + C_2$

Теперь можно объединить постоянные $C_1$ и $C_2$ в одну постоянную $C$:

$\ln|y| = \ln|x - 2||x + 2| + C$

Теперь применим экспоненту к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от логарифмов:

$|y| = e^C \cdot |x - 2||x + 2|$

Поскольку $e^C$