Question

Помогите пожалуйста сделать дифференциальное уравнение: y'(x^2-4)=2xy , y(0)=0.

Answer 1

Ответ:

$y'\, (x^2-4)=2xy\ \ ,\ \ \ y(0)=0\\\\y'=\dfrac{2xy}{x^2-4}\ \ ,\ \ \ \displaystyle \int \frac{dy}{y}=\int \frac{2x\, dx}{x^2-4}\ \ ,\\\\\\ln|y|=ln|x^2-4|+lnC\ \ ,\ \ \ y>0\ ,\ x^2-4>0\ ,\\\\\boxed{\ y=C(x^2-4)\ }\ \ ,\ \ \ y>0\ \ ,\ \ x\in (-\infty;-2)\cup (\, 2;+\infty )$

Начальные условия заданы неверно, так как  у≠0  и  х≠0 .

Answer 2

Конечно, мы можем решить это дифференциальное уравнение методом разделения переменных. Ваше уравнение имеет вид:

y'(x^2 - 4) = 2xy

Давайте начнем с разделения переменных, переместив члены с y на одну сторону и члены с x на другую сторону:

y'(x^2 - 4) / (2xy) = 1

Теперь мы можем разделить и переместить y' влево:

y' / y = 1 / (x^2 - 4) / (2x)

y' / y = 1 / (2x(x^2 - 4))

Теперь интегрируем обе стороны. Левую сторону можно интегрировать с помощью интеграла ln|y|, а правую сторону можно разложить на дроби:

∫(1/y) dy = ∫(1 / (2x(x^2 - 4))) dx

ln|y| = 1/2 * ∫(1 / (x(x+2)(x-2))) dx

Теперь интегрируем правую сторону. Мы можем разложить дробь на частные дроби:

1 / (x(x+2)(x-2)) = A/x + B/(x+2) + C/(x-2)

После разложения и нахождения значений A, B и C, мы получаем:

A = 1/4, B = -1/4, C = 1/4

Интегрируем теперь:

ln|y| = 1/2 * [∫(1/4x) dx - ∫(1/4(x+2)) dx + ∫(1/4(x-2)) dx]

ln|y| = 1/2 * [1/4 * ln|x| - 1/4 * ln|x+2| + 1/4 * ln|x-2| + C]

Теперь можем объединить логарифмы и убрать модули:

ln|y| = 1/8 * (ln|x| - ln|x+2| + ln|x-2|) + C

ln|y| = 1/8 * ln(|x| / |x+2| * |x-2|) + C

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|y| = e^(1/8 * ln(|x| / |x+2| * |x-2|) + C)

|y| = e^(C) * (|x| / |x+2| * |x-2|)^(1/8)

Теперь учтем начальное условие y(0) = 0. Это означает, что |y(0)| = 0, поэтому мы можем избавиться от модуля:

0 = e^(C) * (|0| / |0+2| * |0-2|)^(1/8)

0 = e^(C) * (0 / 2 * 2)^(1/8)

0 = e^(C) * 0

Поскольку e^C не может быть равно 0, это означает, что C должно быть бесконечностью, и, следовательно, у нас будет:

0 = 0

Это верно, и у нас есть решение для данного начального условия:

y(x) = 0

Таким образом, решением дифференциального уравнения y'(x^2-4)=2xy с начальным условием y(0)=0 является y(x) = 0.