Question

4tg²x+4tgx-1=0 помогите решить пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

$4 {tg}^{2} x + 4tgx - 1 = 0 \\ \\ tgx = t \\ \\ 4 {t}^{2} + 4t - 1 = 0 \\ D= 16 + 16 = 32 = 16 \times 2 \\ t_1 = \frac{ - 4 + 4 \sqrt{2}}{8} = \frac{- 1 + \sqrt{2}}{2} \\ t_2 = \frac{ - 1- \sqrt{2}}{ 2} \\ \\ t_{1,2} = \frac{- 1\pm \sqrt{2} }{2}\\ \\ tgx = \frac{ -1 \pm \sqrt{2}}{2} \\ x = arctg( \frac{- 1\pm \sqrt{2}}{2} ) + \pi \: n$

n принадлежит Z.

Answer 2

Чтобы решить уравнение $4\tan^2(x) + 4\tan(x) - 1 = 0$, давайте введем новую переменную, скажем, $u = \tan(x)$. Тогда уравнение примет вид:

$4u^2 + 4u - 1 = 0.$

Это квадратное уравнение относительно $u$, которое можно решить с помощью квадратного уравнения. Используем формулу дискриминанта, чтобы найти значения $u$:

Дискриминант $D = (4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32.$

Теперь выразим $u$ через $D$:

$u = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}.$

Так как $\tan(x) = u$, имеем два возможных значения для $u$:

$u_1 = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2},$ $u_2 = \frac{-1 - \sqrt{2}}{2}.$

Теперь нужно найти значения $x$ для каждого значения $u$ с помощью обратной тригонометрической функции:

$x_1 = \arctan\left(\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}\right),$ $x_2 = \arctan\left(\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}\right).$

Эти значения $x$ будут корнями исходного уравнения.