Question

Найти промежутки монотонности функции, точки экстремума y = 1/x*2+2x

Answer 1

Ответ: y = 1/x*2+2*x

Найдем точки разрыва функции.

x1 = 0

Answer 2

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции $y = \frac{1}{x^2} + 2x$, нам нужно проанализировать производную функции и определить, где она положительна (функция возрастает), отрицательна (функция убывает), и равна нулю (точки экстремума).

1. Найдем производную функции $y$: $y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2} + 2x\right)$.

Для нахождения производной каждого слагаемого, воспользуемся правилами дифференцирования:

$y' = -2x^{-3} + 2$.

2. Теперь определим, где производная $y'$ равна нулю, так как это могут быть точки экстремума. Решим уравнение $y' = 0$:

   $-2x^{-3} + 2 = 0$.

Умножим обе стороны на $x^3$ (предполагая, что $x \neq 0$):

$-2x^3 + 2x = 0$.

Теперь выразим $x$:

$2x(1 - x^2) = 0$.

Таким образом, у нас два корня: $x = 0$ и $x = 1$.

3. Теперь мы можем определить знак производной $y'$ в интервалах между и за пределами найденных корней.

   • Если $x < 0$, то $x^{-3}$ положительно, и $2$ положительно. Следовательно, $y'$ положительно, и функция $y$ возрастает на интервале $(-\infty, 0)$.

   • Если $0 < x < 1$, то $x^{-3}$ положительно, но $2$ остается положительным. Таким образом, $y'$ остается положительным, и функция $y$ продолжает возрастать на интервале $(0, 1)$.

   • Если $x > 1$, то $x^{-3}$ положительно, и $2$ остается положительным. Следовательно, $y'$ положительно, и функция $y$ возрастает на интервале $(1, \infty)$.

   • Между корнями $x = 0$ и $x = 1$ производная $y'$ отрицательна, следовательно, функция $y$ убывает на интервале $(0, 1)$.

4. Теперь можем определить точки экстремума. Поскольку производная меняет знак с положительного на отрицательный при $x = 1$, то это точка локального максимума. А при $x = 0$, это точка локального минимума.

Итак, промежутки монотонности функции $y = \frac{1}{x^2} + 2x$ следующие:

• Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$.
• Функция убывает на интервале $(0, 1)$.

Точки экстремума:

• Локальный минимум при $x = 0$.
• Локальный максимум при $x = 1$.