Question

Розв’язати диференціальне рівняння y"=1/√1-x^2

Answer 1

Х= 1/2 дробью, не могу расписать

Answer 2

Це диференціальне рівняння другого порядку. Давайте розв'яжемо його.

Диференціальне рівняння виглядає наступним чином:

y'' = 1/√(1 - x^2)

Щоб розв'язати це рівняння, спершу ми можемо помножити обидві сторони на √(1 - x^2), щоб позбавитися від знаменника:

√(1 - x^2) * y'' = 1

Тепер ми отримали лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі сталаю коефіцієнтом. Давайте позначимо √(1 - x^2) як A для зручності:

A * y'' = 1

Тепер ми можемо знайти загальний розв'язок цього рівняння. Для цього спершу знайдемо загальний розв'язок спрощеного рівняння:

A * y'' = 1

y'' = 1/A

Тепер проінтегруємо обидві сторони відносно x двічі:

∫y'' dx = ∫(1/A) dx

y' = ∫(1/A) dx + C1

Тут C1 - це константа інтегрування.

Ще раз проінтегруємо обидві сторони відносно x:

y = ∫(∫(1/A) dx + C1) dx + C2

y = ∫(1/A) dx + C1x + C2

Отже, загальний розв'язок даного диференціального рівняння має вигляд:

y(x) = ∫(1/√(1 - x^2)) dx + C1x + C2

Завдане диференціальне рівняння - це рівняння Ейлера-Пуассона, і розв'язок цього рівняння виглядає як арксинус:

y(x) = arcsin(x) + C1x + C2

де C1 і C2 - це довільні константи.