Question

Исследуйте функцию Y=9x^3-3x

Answer 1

Ответ:

Дана функция y = х³- 9x.

1) Область определения х ∈ (-∞, +∞).

2) Разложим её на множители: у = х(х - 3)(х + 3).

Отсюда получаем 3 точки пересечения оси Ох:

х1 = 0,  х2 = 3,  х3 = -3.

3) Точка пересечения оси Оу: х = 0.

4) Поведение на бесконечности.

У(-∞) = -∞

У(+∞) = +∞

5) Исследование на четность.

Y(-х) = - х³ + 9х = -(х³ - 9х).

Функция  нечетная.

6) Монотонность.

Производная функции

Y' = 3x²- 9 = 3(х² - 3).

Точки экстремумов

х1 = √3     х2 = -√3.

Находим знаки производной на полученных промежутках.

х =       -2     -√3     0     √3         2

y' =       3       0     -9       0    3.

В точке х = -√3 максимум, у = 6√3,

в точке х = √3 минимум, у = -6√3.

Возрастает на промежутках (-∞, -√3) ∪ (√3, +∞)

Убывает на промежутке (-√3, √3).

7) Точки перегиба - нули второй производной.

Y" = 6x = 0

Х= 0. Это точка перегиба.

Выпуклая:  х ∈ (-∞; 0]

Вогнутая: х ∈ (0; +∞).

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для исследования функции $Y = 9x^3 - 3x$, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции.
2. Найдем интервалы возрастания и убывания функции.
3. Найдем экстремумы (максимумы и минимумы).
4. Найдем точки перегиба.
5. Найдем значения функции в краевых точках.
6. Построим график функции.

1. Производная функции

Производная функции $Y = 9x^3 - 3x$ будет:

$Y' = 27x^2 - 3$

2. Интервалы возрастания и убывания

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, мы рассматриваем знак производной $Y'$. Найдем, где $Y' > 0$ (функция возрастает) и где $Y' < 0$ (функция убывает).

$Y' > 0$ когда $27x^2 - 3 > 0$.

Решим это неравенство:

$27x^2 - 3 > 0$

Решение этого неравенства - $x < -\frac{1}{3}$ и $x > \frac{1}{3}$.

Итак, функция возрастает на интервалах $-\infty, -\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{3}, \infty$, и убывает на интервале $-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}$.

3. Экстремумы

Чтобы найти экстремумы, мы ищем точки, в которых производная равна нулю:

$27x^2 - 3 = 0$

Решая это уравнение, получим:

$27x^2 = 3$

$x^2 = \frac{3}{27}$

$x^2 = \frac{1}{9}$

$x = \pm \frac{1}{3}$

Итак, у нас есть две критические точки: $x = -\frac{1}{3}$ и $x = \frac{1}{3}$.

Чтобы определить, являются ли они максимумами или минимумами, мы можем использовать вторую производную тест. Но поскольку у нас нет второй производной, мы можем просто посмотреть на поведение функции в окрестности этих точек.

При $x < -\frac{1}{3}$, функция возрастает. При $x > \frac{1}{3}$, функция также возрастает. В точках $x = -\frac{1}{3}$ и x = \frac{1/3} у функции будет локальный минимум и локальный максимум соответственно.

4. Точки перегиба

Чтобы найти точки перегиба, мы ищем значения $x$, при которых вторая производная равна нулю. Однако в данном случае у нас нет второй производной, поэтому не можем найти точки перегиба.

5. Значения в краевых точках

Находим значения функции на краевых точках. Поскольку у функции $Y = 9x^3 - 3x$ нет ограничений на $x$, значит, она стремится к бесконечности при $x \to \pm \infty$.

6. График функции

Давайте построим график функции $Y = 9x^3 - 3x$ на основе проведенного анализа:

• Функция возрастает на интервалах $-\infty, -\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{3}, \infty$.
• Функция убывает на интервале $-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}$.
• Есть локальный минимум в $x = -\frac{1}{3}$ и локальный максимум в $x = \frac{1}{3}$.
• Функция стремится к бесконечности при $x \to \pm \inфинити$.

Обратите внимание, что график функции будет симметричным относительно начала координат, так как $9x^3$ - это нечетная функция, а $-3x$ - четная функция.

График функции будет выглядеть примерно так:

luaCopy code
  ^
  |           _/`
  |          /  ^
  |        /    |
  |      /      |
  |    /        |    ------
  |__/          |___/\
  +----------------------------->

Это лишь качественное представление графика. Для более точного изображения можно использовать графические инструменты или компьютерные программы.