Question

Докажите тождества: а) (х-2)^2>х(х-4); б) (а-2)(а+2)+11>0

Answer 1

а) (х-2)^2>х(х-4)

x^2-4x+4>x^2-4x

4>0    

Ответ: верно

б) (а-2)(а+2)+11>0

а^2-4+11>0

а^2+7>0

а^2>-7

а>7

7>0

Ответ: верно

Answer 2

а) Для доказательства неравенства (х-2)^2 > x(x-4), начнем с раскрытия левой стороны и упростим неравенство:

(х-2)^2 = x^2 - 4x + 4

Теперь подставим это выражение обратно в исходное неравенство:

x^2 - 4x + 4 > x(x - 4)

Теперь раскроем скобки на правой стороне:

x^2 - 4x + 4 > x^2 - 4x

Заметьте, что x^2 и -4x отменяются на обеих сторонах неравенства. Мы получаем:

4 > 0

Это неравенство истинно для всех реальных чисел x. Таким образом, первое неравенство (х-2)^2 > x(x-4) верно для всех значений x.

б) Для доказательства неравенства (а-2)(а+2) + 11 > 0, начнем с раскрытия левой стороны:

(а-2)(а+2) + 11 = a^2 - 4 + 11

Теперь упростим это выражение:

a^2 + 7 - 4 > 0

a^2 + 3 > 0

Теперь, чтобы это неравенство было верным, сумма квадрата любого числа и 3 должна быть больше нуля. Однако, квадрат любого реального числа всегда неотрицателен (или равен нулю), так что a^2 + 3 всегда будет больше или равно 3. Таким образом, неравенство a^2 + 3 > 0 верно для всех действительных чисел a.

Оба неравенства верны для всех действительных чисел x и a.

Answer 3

Давайте докажем оба тождества:

а) (x-2)^2 > x(x-4)

Начнем с левой стороны:

(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4

Теперь правая сторона:

x(x-4) = x^2 - 4x

Теперь сравним обе стороны:

x^2 - 4x + 4 > x^2 - 4x

Заметим, что x^2 и -4x отсутствуют в данном неравенстве, и оно упрощается до:

4 > 0

Это верное неравенство, так как положительное число (4) всегда больше нуля. Значит, тождество (a) верно для всех действительных значений x.

б) (a-2)(a+2) + 11 > 0

Начнем с левой стороны:

(a-2)(a+2) + 11 = a^2 - 4 + 11 = a^2 + 7

Теперь у нас есть:

a^2 + 7 > 0

Здесь a^2 всегда неотрицательно, и прибавление положительного числа 7 делает всю выражение больше нуля. Таким образом, тождество (б) также верно для всех действительных значений a.