Question

Три окружности попарно касаются друг друга. отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник с катетами 9 дм и 40 дм . Вычисли радиусы окружностей.

Answer 1

Ответ:

4 дм, 5 дм; 36 дм

Пошаговое объяснение:

1) Обозначим отрезки, соединяющие центры окружностей: АС = 9 дм, ВС = 40 дм и найдём отрезок АВ:

АВ = √(АС²+ВС²) = √(9²+40²) = √(81+1600) = √1681 = 41 дм

2) Пусть а, b и с - радиусы окружностей, центры которых совпадают с вершинами треугольника АВС, тогда расстояния между вершинами треугольника равны суммам радиусов окружностей:

АВ = а + b; ВС = b + c;  АС = а + с.

3) Составим систему уравнений и найдём неизвестные радиусы окружностей:  

а + b = 41    (1)

b + c = 40   (2)

а + с = 9      (3)

Из уравнения (1) вычтем уравнение (2):

а + b - b - c = 41 - 40

а - с = 1        (4)

и полученное уравнение (4) сложим с уравнением (3):

а - с + а + с = 1 + 9

2а = 10

а = 5 дм.

4) Подставим полученное значение а в уравнение (1):

5 + b = 41

b = 41 - 5

b = 36 дм

5) Подставим полученное значение b в уравнение (2):

36 + с = 40

с = 40 - 36

с = 4 дм

Ответ:  радиусы окружностей равны 4 дм, 5 дм и 36 дм.

Answer 2

Давайте обозначим радиусы трех окружностей как $r_1$, $r_2$, и $r_3$. Мы знаем, что отрезки, соединяющие центры окружностей, образуют прямоугольный треугольник. По условию, один из катетов этого треугольника равен 9 дм, а другой равен 40 дм. Пусть $r_1$ и $r_2$ - это радиусы окружностей, касающихся друг друга с катетами, и $r_3$ - это радиус третьей окружности, касающейся обоих $r_1$ и $r_2$.

Используя свойство касания, радиусы окружностей $r_1$ и $r_2$ равны сумме $r_3$, то есть:

$r_1 = r_3 + r_2$

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $r_1^2 + r_2^2 = 40^2$ (связано с одним из катетов)
2. $r_1^2 + r_3^2 = 9^2$ (связано с другим катетом)

Мы можем выразить $r_1$ из первого уравнения и подставить его во второе уравнение:

$(r_3 + r_2)^2 + r_3^2 = 9^2$

Раскроем скобки и упростим:

$r_3^2 + 2r_2r_3 + r_2^2 + r_3^2 = 9^2$

$2r_3^2 + 2r_2r_3 + r_2^2 = 9^2$

$2(r_3^2 + r_2r_3) + r_2^2 = 9^2$

Теперь мы можем подставить $r_1^2 + r_2^2 = 40^2$:

$2(r_3^2 + r_2r_3) + 40^2 = 9^2$

$2(r_3^2 + r_2r_3) = 9^2 - 40^2$

$r_3^2 + r_2r_3 = \frac{9^2 - 40^2}{2}$

$r_3(r_3 + r_2) = \frac{9^2 - 40^2}{2}$

Теперь мы можем выразить $r_2$ через $r_3$:

$r_2=\frac{9^2-40^2}{2{}_{}}$