Question

В коло радіуса R вписано правильний трикутник . в цей трикутник вписано коло а в нього квадрат . Знайдіть сторону квадрата​

Answer 1

Ответ:

R/√2

Пошаговое объяснение:

1) Пусть а - сторона правильного треугольника, тогда:

R = a√3/3 - радиус окружности, описанной около правильного треугольника;

r = a√3/6 - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник.

2) Выразим r через R:

r = a√3/6 = (a√3/3) : 2 = R : 2 = 0,5 R.

3) Так как квадрат вписан в окружность радиуса r, то диагональ d этого квадрата равна 2r:

d = 2r = 2 · 0,5 R = R.

4) Обозначим сторону квадрата х, тогда, согласно теореме Пифагора:

d = √(х²+х²) = √2х² = х√2

х√2 = R

х = R/√2, или (что одно и то же) х = R√2/2

Ответ: R/√2

Answer 2

Для того щоб вирішити цю задачу, ми можемо використати геометричні властивості правильного трикутника та кругів, вписаних у нього.

Ми знаємо, що радіус кола, вписаного в правильний трикутник, дорівнює $r = \frac{R}{2}$, де $R$ - радіус описаного кола правильного трикутника.

Коли у трикутник вписано коло, центри цих кіл співпадають. Таким чином, радіус кола, вписаного в цей трикутник, також є відстанню від середини сторони трикутника до вершини. За теоремою Піфагора, ця відстань дорівнює $\sqrt{R^2 - (\frac{R}{2})^2} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Отже, сторона квадрата, вписаного в цей коло, буде дорівнювати удвічі відстані від центра квадрата до вершини, або $R\sqrt{3}$.

Таким чином, сторона квадрата дорівнює $R\sqrt{3}$.