Question

Корень из -21+10i​

Answer 1

Решение:

Корень комплексного числа можно найти по формуле:

$\sqrt[n]{Z} = \sqrt[n]{|Z|}(cos\frac{\alpha +2\pi k}{n} + isin\frac{\alpha +2\pi k}{n} )$, где a - аргумент комплексного числа, |Z| - модуль комплексного числа, k = 0, 1... n - 1

$Z = a + bi$ - алгебраическая форма записи комплексного числа

$></p> <p>Воспользуемся формулами:</p> <p><img src=$

Имеем:

$|Z| = \sqrt{(-21)^2 + 10^2} = \sqrt{541}\\\\\alpha = arctg(-\frac{10}{21} )$

$\sqrt{-21+10i} = \sqrt{\sqrt{541} } (cos\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi k }{2} + isin\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi k}{2})$

k = 0... 2 - 1 = 0, 1

Получается у нас будет два решения:

$Z_1 = \sqrt{-21+10i} = \sqrt[4]{541} (cos\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi 0 }{2} + isin\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi 0}{2}) =$

$= \sqrt[4]{541} (cos\frac{arctg(-\frac{10}{21}) }{2} + isin\frac{arctg(-\frac{10}{21})}2)$

$Z_2 = \sqrt{-21+10i} = \sqrt[4]{541} (cos\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi1 }{2} + isin\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi1}{2}) =$

$=\sqrt[4]{541} (cos\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi }{2} + isin\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi}{2})$

Answer 2

Для нахождения корня из числа -21 + 10i, мы сначала должны представить это число в алгебраической форме. Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид a + bi, где a - это действительная часть, а b - мнимая часть.

В вашем случае: a = -21 b = 10

Теперь мы можем найти модуль (длину) комплексного числа: |z| = √(a^2 + b^2)

|z| = √((-21)^2 + 10^2) = √(441 + 100) = √541

Теперь мы знаем модуль числа, и мы можем найти его аргумент (угол), используя тангенс: θ = arctan(b/a)

θ = arctan(10/(-21))

Теперь мы можем представить число в тригонометрической форме: z = |z| * (cos(θ) + i * sin(θ))

z = √541 * [cos(θ) + i * sin(θ)]

Теперь мы можем найти корень этого числа. Давайте предположим, что мы ищем корень степени n: √541^(1/n) * [cos(θ/n + 2πk/n) + i * sin(θ/n + 2πk/n)]

Где k - это целое число от 0 до n-1, которое представляет разные корни. В вашем случае, n = 2 (квадратный корень), поэтому: √(-21 + 10i) = ±√(√541) * [cos(θ/2 + πk) + i * sin(θ/2 + πk)]

Теперь вы можете вычислить два разных значения для корня.