Question

Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії: 20; 4√5; 4; ...

Answer 1

Решение
1. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії 20; 10; 5; ... .
b₁ = 20; b₂ = 10
q = b₂/b₁ = 10/20 = 1/2
S = b₁ / (1 - q) = 20 / (1 - 1/2) = 20 * 2 = 40

2. Скільки від‘ємних членів має артфметична прогресія -28; -25; -22 ...?
a₁ = - 28; a₂ = - 25
d = a₂ - a₁ = - 25 - (-28) = - 25 + 28 = 3
an < 0
a₁ + d(n - 1) < 0
- 28 + 3*(n - 1) < 0
- 28 + 3n - 3 < 0
3n - 31 < 0
3n < 31
n < 10(1/3)
n = 10
Ответ: 10

Answer 2

Суму нескінченної геометричної прогресії можна знайти за формулою:

$S = \frac{a}{1 - r},$

де $a$ - перший член прогресії, $r$ - знаменник прогресії (відношення будь-якого члена до попереднього).

У вашому випадку, перший член $a = 20$, а знаменник $r = \frac{4\sqrt{5}}{20}$, оскільки кожен наступний член прогресії множиться на $\frac{4\sqrt{5}}{20}$, щоб отримати попередній.

Підставимо значення в формулу:

$S = \frac{20}{1 - \frac{4\sqrt{5}}{20}}.$

Спростимо вираз:

$S = \frac{20}{1 - \frac{\sqrt{5}}{5}}.$

Домножимо чисельник і знаменник на 5, щоб позбавитися від знаменника в чисельнику:

$S = \frac{20 \cdot 5}{5 - \sqrt{5}}.$

$S = \frac{100}{5 - \sqrt{5}} \cdot \frac{5 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}.$

$S = \frac{100(5 + \sqrt{5})}{25 - 5} = \frac{100(5 + \sqrt{5})}{20}.$

$S = \frac{5(5 + \sqrt{5})}{2}.$

Отже, сума нескінченної геометричної прогресії $20, 4\sqrt{5}, 4, \ldots$ дорівнює $\frac{5(5 + \sqrt{5})}{2}$.