Question

Известно, что xyz+xy+yz+xz+x+y+z = 2, yzt+yz+yt+zt+y+z+t = 3, ztx+zt+zx+tx+z+t+x = 4, txy+tx+ty+xy+t+x+y = 5. Чему тогда равно x+y+z+t ? Ответ округлите до тысячных.

Answer 1

Ответ:

2,758

Пошаговое объяснение:

Пусть x = X - 1, y = Y - 1, z = Z - 1, t = T - 1.

Подставим в левую часть первого уравнения:

$(X-1)(Y-1)(Z-1)+(X-1)(Y-1)+(Y-1)(Z-1)+(X-1)(Z-1)+\\+(X-1)+(Y-1)+(Z-1)=XYZ-1$

Аналогично можно преобразовать каждое из трёх оставшихся уравнений. Итак, можно решать такую задачу:

Найти X + Y + Z + T - 4, если

$\begin{cases}XYZ=3\\YZT=4\\ZTX=5\\TXY=6\end{cases}$

Перемножая все 4 уравнения, находим, что $(XYZT)^3=360$, откуда $XYZT=2\sqrt[3]{45}$

Тогда

$\begin{cases}T=\dfrac{2\sqrt[3]{45}}{3}\\X=\dfrac{2\sqrt[3]{45}}{4}\\Y=\dfrac{2\sqrt[3]{45}}{5}\\Z=\dfrac{2\sqrt[3]{45}}{6}\end{cases}$

$X+Y+Z+T-4=\dfrac{19}{10}\sqrt[3]{45}-4\approx2\mbox{,}758$

Answer 2

Давайте рассмотрим данные уравнения:

1. xyz + xy + yz + xz + x + y + z = 2
2. yzt + yz + yt + zt + y + z + t = 3
3. ztx + zt + zx + tx + z + t + x = 4
4. txy + tx + ty + xy + t + x + y = 5

Мы видим, что у каждого уравнения есть общие члены, такие как xy, yz, xz, x, y, z, t, и они присутствуют в каждом уравнении. Давайте выразим эти общие члены в каждом уравнении и сложим все уравнения:

(1) xyz + xy + yz + xz + x + y + z = 2 (2) yzt + yz + yt + zt + y + z + t = 3 (3) ztx + zt + zx + tx + z + t + x = 4 (4) txy + tx + ty + xy + t + x + y = 5

Теперь сложим все четыре уравнения:

xyz + xy + yz + xz + x + y + z + yzt + yz + yt + zt + y + z + t + ztx + zt + zx + tx + z + t + x + txy + tx + ty + xy + t + x + y = 2 + 3 + 4 + 5

Упростим это уравнение:

xyz + xy + yz + xz + x + y + z + yzt + yz + yt + zt + y + z + t + ztx + zt + zx + tx + z + t + x + txy + tx + ty + xy + t + x + y = 14

Теперь сгруппируем члены по переменным:

(xyz + xy + xz + x + y) + (yz + yzt + yt + z + zt + t) + (ztx + zx + tx + z + t + x) + (txy + ty + xy + t + x + y) = 14

Теперь мы видим, что каждая скобка содержит выражение, которое соответствует уравнению 1, 2, 3 и 4 соответственно:

(2) + (3) + (4) + (5) = 14

Таким образом, сумма x + y + z + t равна 14. Теперь округлим этот результат до тысячных:

x + y + z + t = 14

Ответ: 14.000