Question

Два насоси, працюючи разом, можуть наповнити 7/8 басейну за 3 години. За який час може наповнити басейн кожен насос окремо, якщо однин із них може це зробити на 2 години швидше ніж інший? Варіанти відповідей: А 4 год і 6 год Б 4 і 8 год В 4 і 2 год Г 8 год і 6 год

Answer 1

Работу по наполнению бассейна примем за единицу (целое).

Пусть х ч - время работы одного насоса, тогда (х + 2) ч - время работы другого насоса.

1 : х = 1/х - часть бассейна, которую наполнит один насос за 1 час.

1 : (х + 2) = 1/(х+2) - часть бассейна, которую наполнит другой насос за 1 час.

7/8 : 3 = 7/8 · 1/3 = 7/24 - часть бассейна, которую наполнят оба насоса вместе за 1 час.

Уравнение:

1/х + 1/(х+2) = 7/24

Приводим обе части уравнения к общему знаменателю х · (х+2) · 24

1 · (х + 2) · 24 + 1 · х · 24 = 7 · х · (х + 2)

24х + 48 + 24х = 7х² + 14х

7х² + 14х - 24х - 24х - 48 = 0

7х² - 34х - 48 = 0

D = b² - 4ac = (-34)² - 4 · 7 · (-48) = 1156 + 1344 = 2500

√D = √2500 = 50

х₁ = (34-50)/(2·7) = -16/14 (не подходит, так как < 0)

х₂ = (34+50)/(2·7) = 84/14 = 6 (ч) - время работы одного насоса

6 + 2 = 8 (ч) - время работы другого насоса

Вiдповiдь: Г) 8 год i 6 год.

Answer 2

Давайте позначимо швидкість наповнення першого насосу як "1/х" басейнів за годину, і швидкість наповнення другого насосу як "1/(х - 2)" басейнів за годину, де "х" - це час (в годинах), який потрібен кожному насосу окремо для наповнення басейну.

Разом два насоси можуть наповнити 7/8 басейну за 3 години, тобто їх загальна швидкість роботи дорівнює 7/8 басейнів за 3 години, або (7/8) / 3 = 7/24 басейнів за годину.

Тепер ми можемо записати рівняння для суми швидкостей роботи кожного насосу окремо:

1/х + 1/(х - 2) = 7/24

Для розв'язання цього рівняння, спростимо його:

24[(х - 2) + x] = 7х(х - 2)

Розгорнемо дужки та спростимо:

24x - 48 + 24x = 7x^2 - 14x

Розставимо все у вигляді квадратного рівняння:

7x^2 - 14x - 48x + 24 - 48 = 0

7x^2 - 62x - 24 = 0

Зараз ми можемо розв'язати це квадратне рівняння, використовуючи квадратний корінь або квадратне рівняння. Рівняння має два корені:

x₁ = (62 + √(62² + 4 * 7 * 24)) / (2 * 7) x₂ = (62 - √(62² + 4 * 7 * 24)) / (2 * 7)

Обчислимо значення кожного кореня:

x₁ ≈ 8 годин x₂ ≈ -0.857 годин

Отже, один із насосів може наповнити басейн за близько 8 годин, а інший насос займає близько -0.857 годин (що не можливо, тому ігноруємо цей корінь).

Таким чином, перший насос може наповнити басейн за близько 8 годин. Варіант відповіді А "4 год і 6 год" не є правильним.