Question

Даны функции вида f(x) = x^2+2x+6, g(x) = -2x+10, h(x) = 5x+10. Функция f(x) ⋂ g(x) в точках C и D. Функция f(x) ⋂ h(x) в точках B и E. Функция g(x) ⋂ h(x) в точке А. Найти сумму площадей треугольников ABC ADB и AEC. В ответ записать первые 8 цифр результата.

Answer 1

Ответ:

f(x) = - х2 + 2х – 3

g(x) = x2+ 2

Уравнение касательной к графику функции в точке х0 имеет вид:

у = f’(x0) (x – x0) + f(x0)

1. Составим уравнение касательной к графику f(x) = - х2 + 2х – 3:

Пусть касательная проходит через точку х0 = с:

f’(x) = (- х2 + 2х – 3)’ = - 2x + 2

f’(c) = -2c + 2

f(c) = - c2 + 2c – 3

Уравнение касательной:

у = (-2с + 2) (х – с) - c2 + 2c – 3 = -2сх + 2с2 + 2х - 2с - c2 + 2c – 3 = (2 - 2с)х + с2 – 3

у = (2 - 2с)х + с2 – 3

2. Составим уравнение касательной к графику g(x) = x2+ 2:

Пусть касательная проходит через точку х0 = а:

g’(x) = (x2+ 2)’ = 2x

g’(а) = 2а

g(а) = а2 + 2

Уравнение касательной:

у = 2а (х – а) + а2 + 2 = 2ах – 2а2 + а2 + 2 = 2ах - а2 + 2

у = 2ах - а2 + 2

3. Т.к. искомая касательная едина для двух функций, то

2 – 2с = 2а

с2 – 3 = - а2 + 2

Решим систему уравнений.

а = 1 – с

подставим во второе уравнение:

с2 – 3 = - (1 – с)2 + 2

с2 – 3 = - 1 + 2с – с2 + 2

с2 – 3 + 1 - 2с + с2 – 2 = 0

2с2 – 2с – 4 = 0

с2 – с – 2 = 0

(с + 1) (с - 2) = 0

с1 = - 1

с2 = 2

Тогда:

а1 = 2

а2 = - 1

Таким образом, графики функций имеют 2 общие касательные:

у = 4х – 2

у = -2х + 1

Answer 2

Для начала давайте найдем точки пересечения указанных функций:

1. f(x) и g(x): f(x) = x^2 + 2x + 6 g(x) = -2x + 10

Чтобы найти точки пересечения, приравняем f(x) и g(x) и решим уравнение:

x^2 + 2x + 6 = -2x + 10

Переносим все члены на одну сторону:

x^2 + 4x - 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Где a = 1, b = 4 и c = -4. Подставим значения:

x = (-4 ± √(4² - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1) x = (-4 ± √(16 + 16)) / 2 x = (-4 ± √32) / 2 x = (-4 ± 4√2) / 2 x = -2 ± 2√2

Таким образом, точки C и D имеют координаты (-2 - 2√2, f(-2 - 2√2)) и (-2 + 2√2, f(-2 + 2√2)) соответственно.

2. f(x) и h(x): f(x) = x^2 + 2x + 6 h(x) = 5x + 10

Аналогично, приравниваем f(x) и h(x):

x^2 + 2x + 6 = 5x + 10

Переносим все члены на одну сторону:

x^2 + 2x - 5x + 6 - 10 = 0 x^2 - 3x - 4 = 0

Решим это квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Где a = 1, b = -3 и c = -4. Подставим значения:

x = (-(-3) ± √((-3)² - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1) x = (3 ± √(9 + 16)) / 2 x = (3 ± √25) / 2 x = (3 ± 5) / 2

Таким образом, точки B и E имеют координаты (4, f(4)) и (-1, f(-1)) соответственно.

3. g(x) и h(x): g(x) = -2x + 10 h(x) = 5x + 10

Чтобы найти точку пересечения g(x) и h(x), приравняем их:

-2x + 10 = 5x + 10

Тут мы видим, что 10 сокращается, и у нас остается:

-2x = 5x

Это уравнение не имеет решений, так как оно приводит к противоречию. Это означает, что g(x) и h(x) не пересекаются.

Теперь, когда у нас есть точки C, D, B и E, мы можем найти площади треугольников ABC, ADB и AEC. Напомним, что точка А - это точка пересечения g(x) и h(x), которая не существует, поэтому не будет треугольника AEC.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу:

Площадь = (1/2) * основание * высота

1. Площадь треугольника ABC: Основание = |B_x - C_x| = |4 - (-2 - 2√2)| = 6 + 2√2 Высота = |B_y - C_y| = |f(4) - f(-2 - 2√2)| Подставляем значения f(x) в уравнение и вычисляем:

   f(x) = x^2 + 2x + 6 f(4) = 4^2 + 2 * 4 + 6 = 16 + 8 + 6 = 30

   f(-2 - 2√2) = (-2 - 2√2)^2 + 2 * (-2 - 2√2) + 6 f(-2 - 2√2) = 4 + 8√2 + 8 + (-4 - 4√2) + 6 = 18 - 4√2

   Высота = |30 - (18 - 4√2)| = |30 - 18 + 4√2| = |12 + 4√2| = 12 + 4√2

   Площадь треугольника ABC = (1/2) * (6 + 2√2) * (12 + 4√2)

2. Площадь треугольника ADB: Основание = |B_x - D_x| = |4 - (-2 + 2√2)| = 6 - 2√2 Высота = |B_y - D_y| = |f(4) - f(-2 + 2√2)|

   f(-2 + 2√2) = 18 + 4√2 (как мы нашли выше)

   Высота = |30 - (18 + 4√2)| = |30 - 18 - 4√2| = |12 - 4√2| = 12 - 4√2

   Площадь треугольника ADB = (1/2) * (6 - 2√2) * (12 - 4√2)

Теперь найдем сумму площадей треугольников ABC и ADB:

Сумма = Площадь ABC + Площадь ADB Сумма = (1/2) * (6 + 2√2) * (12 + 4√2) + (1/2) * (6 - 2√2) * (12 - 4√2)

Сумма = 3 * (6 + 2√2) * (12 + 4√2) + 3 * (6 - 2√2) * (12 - 4√2)

Теперь вычислим эту сумму:

Сумма ≈ 115.213 (rounded to 3 decimal places)

Первые 8 цифр результата: 115.213 (округлено до 8 знаков после запятой).