Question

Отношение рёбер прямоугольного параллелепипеда равно 2:1:3. Найти объём параллелепипеда, если площадь полной поверхности равна 198 дм2.​

Answer 1

S = 2 · (ab + bc + ac) = 198 дм² - площадь поверхности

Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда а = 2х дм - первое измерение, b = 1х дм - второе измерение, с = 3х дм - третье измерение. Уравнение:

2х · х + х · 3х + 2х · 3х = 198 : 2

2х² + 3х² + 6х² = 99

11х² = 99

х² = 99 : 11

х² = 9

х = √9

х = 3

а = 2 · 3 = 6 дм - первое измерение

b = 1 · 3 = 3 дм - второе измерение

с = 3 · 3 = 9 дм - третье измерение

V = abc = 6 · 3 · 9 = 162 дм³ - объём прямоугольного параллелепипеда

Ответ: 162 дм³.

Answer 2

Давайте обозначим длины рёбер прямоугольного параллелепипеда следующим образом:

Пусть длина ребра, соответствующая отношению 2, будет a. Пусть длина ребра, соответствующая отношению 1, будет b. Пусть длина ребра, соответствующая отношению 3, будет c.

Мы знаем, что площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 198 дм². Площадь полной поверхности вычисляется следующим образом:

2(ab + ac + bc) = 198

Теперь у нас есть система из трёх уравнений, так как мы знаем отношение длин рёбер:

1. a:b:c = 2:1:3
2. 2(ab + ac + bc) = 198

Мы можем использовать отношение длин рёбер (1) для выражения каждого из них в терминах одного параметра. Для этого давайте представим b и c через a:

b = (1/2)a c = (3/2)a

Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение (2):

2(a(1/2)a + a(3/2)a + (1/2)a(3/2)a) = 198

Упростим это уравнение:

2(a²/2 + 3a²/2 + 3a²/4) = 198

Теперь объединим все члены:

(2/2 + 3/2 + 3/4) * a² = 198

(8/4 + 12/4 + 6/4) * a² = 198

(26/4) * a² = 198

(13/2) * a² = 198

Теперь умножим обе стороны на 2/13, чтобы изолировать a²:

a² = (198 * 2) / 13

a² = 396/13

Теперь найдем a, взяв квадратный корень:

a = √(396/13)

Теперь у нас есть значение a, и мы можем найти b и c, используя отношение длин рёбер:

b = (1/2)a = (1/2) * √(396/13)

c = (3/2)a = (3/2) * √(396/13)

Теперь, когда мы знаем длины рёбер, мы можем найти объём параллелепипеда:

Объём = a * b * c

Объём = (√(396/13)) * ((1/2) * √(396/13)) * ((3/2) * √(396/13))

Объём = (1/4) * (3/2) * (396/13)

Объём = (3/8) * (396/13)

Объём = (3 * 396) / (8 * 13)

Объём = (1188/104)

Объём = 99/13

Итак, объём прямоугольного параллелепипеда равен 99/13 дм³.