Question

. Доказать тождество sin x +sin 3x +sin 5x +sin 7x= 4 cosx cos2x sin4x                                [6]​

Answer 1

Ответ:

Смотрите фотографии!

Примечание:

На одной фотографии решение, а на другой тригонометрические формулы.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать формулы для синусов и косинусов удвоенного угла, а также формулу для косинуса суммы углов.

Начнем с правой стороны тождества:

Правая сторона: 4 cos(x) cos(2x) sin(4x)

Сначала выразим cos(2x) и sin(4x) через базовые тригонометрические функции:

cos(2x) = 2 cos^2(x) - 1 sin(4x) = 2 sin(2x) cos(2x)

Теперь подставим эти выражения в правую сторону:

4 cos(x) (2 cos^2(x) - 1) (2 sin(2x) cos(2x))

Умножим все члены:

4 cos(x) (2 cos^2(x) - 1) (2 sin(2x) cos(2x)) = 4 cos(x) (2 cos^2(x) - 1) (2 sin(2x) cos(2x))

Теперь давайте разберемся с левой стороной тождества:

sin(x) + sin(3x) + sin(5x) + sin(7x)

Используем формулу суммы синусов для sin(3x) и sin(5x):

sin(x) + (3sin(x) - 4sin^3(x)) + (5sin(x) - 20sin^3(x)) + sin(7x)

Упростим:

sin(x) + 3sin(x) - 4sin^3(x) + 5sin(x) - 20sin^3(x) + sin(7x)

Теперь объединим все синусы и сгруппируем синусы в кубах:

(1 + 3 + 5)sin(x) - (4 + 20)sin^3(x) + sin(7x)

9sin(x) - 24sin^3(x) + sin(7x)

Теперь у нас есть выражение для левой стороны тождества. Мы видим, что оно не совпадает с правой стороной, поэтому данное тождество не верно.