Question

Докажите, что разложение на простые множители числа (n+ 1)( n+ 2) ⋅ … ⋅ ( n+n ), где n – натуральное, имеет n двоекПомогите Пожалуйста Даю 50 Баллов​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Докажем, что произведение n * (n + 1) * (n + 2) кратно числу 6.

1) В трёх подряд идущих числах всегда есть одно число, или 2 числа, кратных числу 2. Пример: 12, 13, 14;  36, 37, 38, и так далее.

Вывод произведение трёх чисел подряд делится на 2.

2) В трёх подряд идущих числа одно обязательно кратно числу 3. Пример: 35, 36, 37; 57, 58, 59, и так далее. Вывод: произведение трёх чисел подряд обязательно делится на 3.

3) В трёх подряд идущих числах есть два множителя 2 и 3, а 2 * 3 = 6, значит, и такое произведение делится на 6.

Answer 2

Давайте докажем, что разложение на простые множители числа (n+1)(n+2)⋅…⋅(n+n) содержит n двоек.

Сначала рассмотрим данное произведение в виде (n+1)(n+2)⋅…⋅(n+n). Давайте разложим каждый множитель на простые множители:

1. (n+1) можно разложить на простые множители следующим образом: n+1 = 2^0 * (n+1)

2. (n+2) можно разложить на простые множители следующим образом: n+2 = 2^1 * (n/2 + 1)

3. (n+3) можно разложить на простые множители следующим образом: n+3 = 2^0 * (n/2 + 3/2)

4. (n+4) можно разложить на простые множители следующим образом: n+4 = 2^2 * (n/4 + 1)

...

n+n = 2^n * (n/2 + 1)

Теперь давайте перемножим все эти разложения:

(n+1)(n+2)⋅…⋅(n+n) = (2^0 * (n+1))(2^1 * (n/2 + 1))(2^0 * (n/2 + 3/2))(2^2 * (n/4 + 1))⋅…⋅(2^n * (n/2 + 1))

Теперь умножим все степени двойки вместе:

2^0 * 2^1 * 2^0 * 2^2 * ⋯ * 2^n = 2^(0+1+0+2+⋯+n) = 2^(1+2+⋯+n) = 2^(n(n+1)/2)

Таким образом, разложение на простые множители исходного выражения (n+1)(n+2)⋅…⋅(n+n) содержит 2^(n(n+1)/2) двоек.

Поскольку n - натуральное число, n(n+1)/2 также является натуральным числом. Таким образом, разложение содержит n(n+1)/2 двоек.

Таким образом, разложение на простые множители числа (n+1)(n+2)⋅…⋅(n+n) содержит n(n+1)/2 двоек.