Question

Найдите точку максимума функции y=x^4-4x^2

Answer 1

область определения функции (-∞;+∞)

у'=4x³-8x=4x*(x²-2)=4x*(x-√2)*(x+√2)=0

х=0; х=±√2

___-√2____0______√2_____________

-                +             -               +

при переходе через точку х=0 производная меняет знак с плюса на минус, значит,

х=0 точки максимума

Answer 2

Чтобы найти точку максимума функции $y = x^4 - 4x^2$, нужно найти критические точки и определить их характер (максимум или минимум).

1. Найдем производную функции по $x$:

$y' = 4x^3 - 8x.$

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$4x^3 - 8x = 0.$

3. Вынесем общий множитель:

$4x(x^2 - 2) = 0.$

Это уравнение имеет три корня: $x = 0$, $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$.

4. Теперь используем вторую производную, чтобы определить характер точек:

$y'' = 12x^2 - 8.$

5. Подставим найденные критические точки $x = 0$, $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$ во вторую производную:

• Для $x = 0$: $y''(0) = -8$, что означает, что это точка максимума.
• Для $x = \sqrt{2}$: $y''(\sqrt{2}) = 16 - 8 = 8$, что означает, что это точка минимума.
• Для $x = -\sqrt{2}$: $y''(-\sqrt{2}) = 16 - 8 = 8$, что также означает, что это точка минимума.

Таким образом, точка максимума функции $y = x^4 - 4x^2$ находится в $x = 0$. Подставим этот $x$ обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение $y$:

$y(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^2 = 0.$

Итак, точка максимума функции - это точка $(0, 0)$.