Question

Найдите остаток при делении 2 в сотой степени на 7; на 11; на 13

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:  2⁴ = 16 ;  2¹⁰⁰ = ( 2⁴)²⁵ ;

1) при діленні на 7   :   ( 2⁴)²⁵ =( 2⁴)²¹* (2⁴)⁴ ;  остання цифра   6 ;

2) при діленні на 11  :   ( 2⁴)²⁵= ( 2⁴)²²* (2⁴)³ ; остання цифра   6 ;

3) при діленні на 13  :  ( 2⁴)²⁵= ( 2⁴)¹³* (2⁴)¹² ; остання цифра   6 .

Answer 2

Давайте найдем остаток при делении 2 в степени 100 на 7, 11 и 13.

1. Остаток при делении 2^100 на 7:

Для этого мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма. Малая теорема Ферма утверждает, что если p - простое число, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p), где "≡" обозначает сравнение по модулю.

В данном случае, p = 7, и мы хотим найти остаток от деления 2^100 на 7. Сначала определим 2^100 по модулю 6 (так как 7 - 1 = 6):

2^100 ≡ 2^((6*16) + 4) ≡ 2^4 (mod 6)

Теперь найдем 2^4 по модулю 7:

2^4 ≡ 16 ≡ 2 (mod 7)

Таким образом, остаток при делении 2^100 на 7 равен 2.

2. Остаток при делении 2^100 на 11:

Аналогично, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма. Для p = 11:

2^100 ≡ 2^(10*10) ≡ (2^10)^10 (mod 11)

Теперь найдем 2^10 по модулю 11:

2^10 ≡ 1024 ≡ 4 (mod 11)

Итак, остаток при делении 2^100 на 11 равен 4.

3. Остаток при делении 2^100 на 13:

Для p = 13:

2^100 ≡ 2^(13*7 + 9) ≡ (2^13)^7 * 2^9 (mod 13)

Теперь найдем 2^13 по модулю 13:

2^13 ≡ 8192 ≡ 1 (mod 13)

И 2^9 по модулю 13:

2^9 ≡ 512 ≡ 9 (mod 13)

Теперь вычислим итоговый остаток:

(2^13)^7 * 2^9 ≡ 1^7 * 9 ≡ 9 (mod 13)

Таким образом, остаток при делении 2^100 на 13 равен 9.