Question

Помогите пожалуйста!!! log_(2)(x+8)+log_(2)5 = 2log_(2)(2-x)

Answer 1

Ответ:

-3

Пошаговое объяснение:

Область допустимых значений (ОДЗ):

{ х+8 > 0

{ 2-х > 0

_______

{ х > -8

{ х < 2

-8 < х < 2

$log_{2}(x + 8) + log_{2}(5) = 2 log_{2}(2 - x) \\ log_{2}(5 \times (x + 8)) = log_{2} {(2 - x)}^{2} \\ 5 \times (x + 8) = {(2 - x)}^{2} \\ 5x + 40 = 4 - 4x + {x}^{2} \\ {x}^{2} - 4x - 5x + 4 - 40 = 0 \\ {x}^{2} - 9x - 36 = 0$

По теореме Виета

{ х1+х2 = 9

{ х1×х2 = -36

х1 = -3

х2 = 12 — не входит в ОДЗ

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу и найдем значение $x$, удовлетворяющее уравнению:

$\log_2(x+8) + \log_25 = 2\log_2(2-x)$

Первым шагом упростим уравнение, используя свойства логарифмов:

$\log_2(x+8) + \log_25 = \log_2((x+8) \cdot 5)$

Теперь преобразуем правую часть уравнения:

$2\log_2(2-x) = \log_2((2-x)^2)$

Таким образом, у нас имеется новое уравнение:

$\log_2((x+8) \cdot 5) = \log_2((2-x)^2)$

Для того чтобы решить это уравнение, равенство логарифмов означает равенство аргументов:

$(x+8) \cdot 5 = (2-x)^2$

Раскроем скобки:

$5x + 40 = 4 - 4x + x^2$

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

$x^2 + 9x - 36 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой квадратного корня:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В данном случае, $a = 1$, $b = 9$ и $c = -36$. Подставим значения и найдем $x$:

$x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 1 \cdot -36}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 144}}{2}$

$x = \frac{-9 \pm \sqrt{225}}{2}$

$x_1 = \frac{-9 + 15}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-9 - 15}{2} = -12$

Теперь проверим оба значения $x$ в исходном уравнении:

1. Проверка $x = 3$:

$\log_2(3+8) + \log_25 = \log_215 + \log_25 = 1 + 1 = 2$

$2\log_2(2-3) = 2\log_2(-1)$

Логарифм отрицательного числа не имеет смысла в действительных числах, поэтому $x = 3$ не подходит.

2. Проверка $x = -12$:

$\log_2(-12+8) + \log_25 = \log_24 + \log_25$

$2\log_2(2-(-12)) = 2\log_214 = 4$

Таким образом, $x = -12$ удовлетворяет исходное уравнение.