Question

Доказать что уравнение является уравнением сферы А)x^2+y^2-6y+z^2-8z=0 Б)x^2-2x+y^2+3y+z^2-z=2,5

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

А)

$x^2+y^2-6y+9-9+z^2-8z+16-16=0\\x^{2}+(y-3)^2+(z-4)^2=16+9\\x^{2}+(y-3)^2+(z-4)^2=25$

Сфера с центром О(0;3;4) и радиусом 5

Б)

$x^2-2x+1-1+y^2+3y+(1,5)^2-(1,5)^2+z^2-z+(0,5)^2-(0,5)^2=2,5\\(x-1)^2-1+(y+1,5)^2-(1,5)^2+(z-0,5)^2-(0,5)^2=2,5\\(x-1)^2+(y+1,5)^2+(z-0,5)^2=2,5+1+(1,5)^2+(0,5)^2\\(x-1)^2+(y+1,5)^2+(z-0,5)^2=5$

Сфера с центром О(1;-1,5;0,5) и радиусом √5

Answer 2

Для определения, является ли данное уравнение уравнением сферы, мы должны проверить, удовлетворяет ли оно стандартному уравнению сферы. Стандартное уравнение сферы в трехмерном пространстве имеет следующий вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$

где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

1. Для уравнения $x^2 + y^2 - 6y + z^2 - 8z = 0$, давайте попробуем привести его к стандартному виду:

$x^2 + y^2 - 6y + z^2 - 8z = 0$ $(x^2 - 2x) + (y^2 - 6y) + (z^2 - 8z) = 0$ $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 8z + 16 = 1 + 9 + 16$ $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 26$

Теперь у нас есть стандартное уравнение сферы $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 26$. Таким образом, это уравнение является уравнением сферы с центром в точке (1, 3, 4) и радиусом $\sqrt{26}$.

2. Для уравнения $x^2 - 2x + y^2 + 3y + z^2 - z = 2.5$, давайте также приведем его к стандартному виду:

$x^2 - 2x + y^2 + 3y + z^2 - z = 2.5$ $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 3y + 9/4) + (z^2 - z + 1/4) = 2.5 + 1 + 9/4 + 1/4$ $(x - 1)^2 + (y + 3/2)^2 + (z - 1/2)^2 = 2.5 + 4 + 1$

Теперь у нас есть стандартное уравнение сферы $(x - 1)^2 + (y + 3/2)^2 + (z - 1/2)^2 = 2.5 + 4 + 1 = 7.5$. Таким образом, это уравнение также является уравнением сферы с центром в точке (1, -3/2, 1/2) и радиусом $\sqrt{7.5}$.

Итак, оба уравнения являются уравнениями сферы.