Question

Найти частные производные dz/dx, dz/dy , и полный дифференциал dz функции 1) z=5-y-4x^(3)*y^(-2)+y^(5)-2x^(4)-7x 2)z=arcsin(5x^(2)*y^(3)-3x) 3)z=(lnx)^(y^2+5)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) z=5 -y -4x³y⁻²+y⁵-2x⁴ -7x

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x} =-8x^3-12\frac{x^2}{y^2} -7$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta y} =8\frac{x^3}{y^3} +5y^4-1$

$\displaystyle \frac{dz}{dx } = \bigg (-8x^3-12\frac{x^2}{y^2} -7 \bigg )dx +\bigg (8\frac{x^3}{y^3} +5y^4-1\bigg )dy$

2) z = arcsin(5x²y³-3x)

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x} = \frac{10xy^3-3}{\sqrt{1-((5x^2y^3-3x)^2} }$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta y} = \frac{15x^2y^2}{\sqrt{1-((5x^2y^3-3x)^2} }$

$\displaystyle \frac{dz}{xx} = \frac{10xy^3-3}{\sqrt{1-((5x^2y^3-3x)^2} } dx+ \frac{15x^2y^2}{\sqrt{1-((5x^2y^3-3x)^2} } dy$

3.

$\displaystyle z=(lnx)^{(y^2+5)}$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x} = \frac{(y^2+5)ln^{(y^2+5)}(x)}{xln(x)}$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta y} = 2y*ln^{(y^2+5)}(x)*ln(ln(x))$

$\displaystyle \frac{dz}{dx } =\frac{(y^2+5)ln^{(y^2+5)}(x)}{xln(x)} dx +2y*ln^{(y^2+5)}(x)*ln(ln(x))dy$

Answer 2

Давайте найдем частные производные и полный дифференциал для каждой из заданных функций.

1. z = 5 - y - 4x^3 * y^(-2) + y^5 - 2x^4 - 7x

Частная производная по x (dz/dx):

dz/dx = d/dx [5 - y - 4x^3 * y^(-2) + y^5 - 2x^4 - 7x]

dz/dx = -12x^2 * y^(-2) - 8x^3 - 7

Частная производная по y (dz/dy):

dz/dy = d/dy [5 - y - 4x^3 * y^(-2) + y^5 - 2x^4 - 7x]

dz/dy = -1 + 8x^3 * y^(-3) + 5y^4

Полный дифференциал dz:

dz = (dz/dx)dx + (dz/dy)dy

dz = (-12x^2 * y^(-2) - 8x^3 - 7)dx + (-1 + 8x^3 * y^(-3) + 5y^4)dy

2. z = arcsin(5x^2 * y^3 - 3x)

Частная производная по x (dz/dx):

dz/dx = d/dx [arcsin(5x^2 * y^3 - 3x)]

Для вычисления этой производной, нам понадобится использовать цепное правило (chain rule). Давайте обозначим u = 5x^2 * y^3 - 3x, тогда z = arcsin(u).

dz/du = 1 / sqrt(1 - u^2)

Теперь используем цепное правило:

dz/dx = (dz/du)(du/dx)

Здесь du/dx - это производная u по x, которую вычислите сами, и подставьте ее в dz/du, как указано выше.

3. z = (lnx)^(y^2+5)

Частная производная по x (dz/dx):

dz/dx = d/dx [(lnx)^(y^2+5)]

Используем цепное правило:

dz/dx = (dz/du)(du/dx)

Где u = lnx и v = y^2 + 5.

du/dx = (1/x)

dv/du = 2y

dz/du = v * (u^(v-1))

Теперь используем цепное правило:

dz/dx = (1/x) * (y^2 + 5) * (lnx)^(y^2 + 4)

Это выражение представляет частную производную по x.