Question

Знайти площу фігури, обмеженої лініями y=3/x, y=2x+1, x=3.

Answer 1

Ответ:

1)3:3 = 1 -y

2)2×3+1 =7-y

3)1×7×3=27

Ответ: площадь фигуры-27.

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями y = 3/x, y = 2x + 1 і x = 3, спершу ми мусимо знайти точки перетину цих ліній. Тоді ми можемо знайти площу обмеженої фігури за допомогою інтеграла.

1. Знайдемо точки перетину:

   a. Поставимо рівняння y = 3/x рівним y = 2x + 1 і вирішимо його:

   3/x = 2x + 1

   Помножимо обидва боки на x, щоб позбавитися від дробу:

   3 = 2x^2 + x

   Переносимо все на один бік і отримуємо квадратне рівняння:

   2x^2 + x - 3 = 0

   Тепер можемо вирішити це рівняння за допомогою квадратного кореня або формули дискримінанту. Знайдемо два значення x.

   x1 ≈ 1.5 x2 ≈ -2

   b. Тепер ми можемо знайти відповідні значення y для цих x, використовуючи обидва рівняння:

   Для x1: y1 = 3/x1 ≈ 3/1.5 ≈ 2

   Для x2: y2 = 3/x2 ≈ 3/(-2) ≈ -1.5

2. Тепер ми маємо дві точки перетину: (1.5, 2) і (-2, -1.5), а також вертикальну лінію x = 3, яка обмежує фігуру. Фігура обмежена лініями y = 3/x, y = 2x + 1, x = 3 і віссю x. Щоб знайти площу цієї фігури, ми можемо використовувати інтеграл:

   Площа = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx, де a і b - це межі інтегрування, f(x) - верхня функція, g(x) - нижня функція.

   У нашому випадку: a = -2 b = 1.5 f(x) = 2x + 1 g(x) = 3/x

   Площа = ∫[-2, 1.5] (2x + 1 - 3/x) dx

   Тепер обчислимо цей інтеграл:

   Площа = [x^2 + x - 3ln|x|] from -2 to 1.5

   Площа = [(1.5^2 + 1.5 - 3ln|1.5|) - ((-2^2 - 2 - 3ln|2|)]

   Площа ≈ [2.25 + 1.5 - 3ln(1.5) - (4 - 2 - 3ln(2))]

   Площа ≈ [3.75 - 3ln(1.5) - 2 + 3ln(2)]

   Площа ≈ 1.75 - 3ln(1.5) + 3ln(2)

   Площа ≈ 1.75 - 3ln(1.5) + 3ln(2)

   Тепер можна обчислити це числове значення:

   Площа ≈ 1.75 - 3 * 0.4055 + 3 * 0.6931 ≈ 1.75 - 1.2165 + 2.0793 ≈ 2.6128

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = 3/x, y = 2x + 1 і x = 3, приблизно дорівнює 2.6128 квадратних одиниць.