Question

Найти производную функции f(x)=x^3 + 7x^2-5x+3 в точке x0=1

Answer 1

Ответ:

f'(1)=12

Пошаговое объяснение:

f'(x)=3x²+14x-5

f'(1)=3+14-5=12

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) в точке x₀ = 1, нужно воспользоваться формулой для производной функции:

f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

В данном случае, f(x) = x^3 + 7x^2 - 5x + 3, и x₀ = 1. Теперь, подставим эти значения в формулу:

f'(1) = lim (h -> 0) [f(1 + h) - f(1)] / h

Теперь, вычислим f(1) и f(1 + h):

f(1) = 1^3 + 71^2 - 51 + 3 = 1 + 7 - 5 + 3 = 6

f(1 + h) = (1 + h)^3 + 7(1 + h)^2 - 5(1 + h) + 3

Теперь, вычислим разность:

[f(1 + h) - f(1)] = [(1 + h)^3 + 7(1 + h)^2 - 5(1 + h) + 3] - 6

Теперь поделим это на h и возьмем предел при h, стремящемся к 0:

f'(1) = lim (h -> 0) [((1 + h)^3 + 7(1 + h)^2 - 5(1 + h) + 3) - 6] / h

Теперь, упростим выражение:

f'(1) = lim (h -> 0) [(1 + h)^3 + 7(1 + h)^2 - 5(1 + h) + 3 - 6] / h

f'(1) = lim (h -> 0) [(1 + 3h + 3h^2 + h^3 + 7(1 + 2h + h^2) - 5 - 5h + 3 - 6)] / h

Теперь объединим подобные члены:

f'(1) = lim (h -> 0) [1 + 3h + 3h^2 + h^3 + 7 + 14h + 7h^2 - 5 - 5h + 3 - 6] / h

f'(1) = lim (h -> 0) (h^3 + 7h^2 + 3h^2 + 14h - 5h + 3 - 6) / h

Теперь, вынесем h как общий множитель и упростим:

f'(1) = lim (h -> 0) h(h^2 + 10h + 11) / h

Теперь, сократим h:

f'(1) = lim (h -> 0) (h^2 + 10h + 11)

Теперь, подставим h = 0:

f'(1) = 0^2 + 10*0 + 11 = 11

Итак, производная функции f(x) = x^3 + 7x^2 - 5x + 3 в точке x₀ = 1 равна 11.