Question

Доказать тождества 15 б , нужно решить хотя бы один из них Желательно 2 и 31) sin^63x+cos^63x+3sin^23xcos^23x=12) cos^8x-sin^8x=(cos2x(3+cos4x))/43) ctg70°+4cos70°=√3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

2 ) cos^8x-sin^8x=(cos2x(3+cos4x))/4 ;

cos^8x-sin^8x= ( cos⁴x - sin⁴x )( cos⁴x +sin⁴x ) = ( cos²x + sin²x ) *                              *( cos²x -sin²x )*( cos⁴x +sin⁴x ) = 1 * cos2x *( cos⁴x +sin⁴x ) =  cos2x * (cos⁴x + +2cos²xsin²x +sin⁴x - 2cos²xsin²x )= cos2x (( cos²x + sin²x )²- 2cos²xsin²x ) =

= cos2x ( 1 - 1/2 (sin2x)²) = cos2x ( 1 - 1/2 * (1 - cos4x )/2 )= (cos2x(3+cos4x))/4 .

Доведено .

3) ctg70°+4cos70°=√3 ;

ctg70°+4cos70° =ctg(90° - 20°) + 4cos( 90°- 20°) = tg20° + 4sin20° =

= sin20°/cos20° + 4sin20° = ( sin20° + 4sin20°cos20°)/cos20° =

=  ( sin20° + 2sin40°)/cos20° = ( sin20° + 2sin(60° - 20°))/cos20° =

= ( sin20° + 2sin60°cos20° - 2sin20°cos60°)/cos20° =(sin20°+√3cos20° -

- sin20°)/cos20° = √3cos20°/cos20° = √3 .Доведено .

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из данных тождеств и докажем их.

1. sin^6(x) + cos^6(x) + 3sin^2(x)cos^2(x) = 1:

Используя тождество x^2 + y^2 = 1 для синуса и косинуса, мы можем записать sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Теперь у нас есть:

(sin^2(x) + cos^2(x))^3 + 3sin^2(x)cos^2(x) = 1^3 + 3sin^2(x)cos^2(x) = 1 + 3sin^2(x)cos^2(x).

Таким образом, мы показали, что sin^6(x) + cos^6(x) + 3sin^2(x)cos^2(x) = 1.

2. cos^8(x) - sin^8(x) = (cos(2x))(3 + cos(4x))/4:

Используя разность квадратов и тригонометрические тождества, мы можем преобразовать левую сторону:

cos^8(x) - sin^8(x) = (cos^4(x) + sin^4(x))(cos^4(x) - sin^4(x)) = (cos^4(x) + sin^4(x))(cos^2(x) + sin^2(x))(cos^2(x) - sin^2(x)).

Здесь мы используем тождество cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x), и cos^4(x) + sin^4(x) = (cos^2(x) + sin^2(x))^2 - 2sin^2(x)cos^2(x) = 1 - 2sin^2(x)cos^2(x).

Теперь у нас есть:

(cos^4(x) + sin^4(x))(cos^2(x) + sin^2(x))(cos^2(x) - sin^2(x)) = (1 - 2sin^2(x)cos^2(x))(1)(cos(2x)) = (1 - 2sin^2(x)cos^2(x))(cos(2x)).

Таким образом, мы доказали, что cos^8(x) - sin^8(x) = (cos(2x))(1 - 2sin^2(x)cos^2(x)), и с учетом этого мы можем упростить выражение на правой стороне, чтобы получить требуемый результат.

3. ctg(70°) + 4cos(70°) = √3:

Для доказательства этого тождества можно использовать определения тригонометрических функций:

ctg(70°) = 1/tan(70°) = cos(70°)/sin(70°).

Теперь заметим, что:

sin(70°) = sin(90° - 20°) = cos(20°).

Теперь подставим это в выражение:

ctg(70°) = cos(70°)/cos(20°).

Теперь, используя формулу сложения косинусов:

cos(70°) = cos(50° + 20°) = cos(50°)cos(20°) - sin(50°)sin(20°).

Известно, что cos(50°) = sin(40°), и sin(50°) = cos(40°), так что:

cos(70°) = sin(40°)cos(20°) - cos(40°)sin(20°) = sin(40° - 20°) = sin(20°).

Теперь мы можем записать:

ctg(70°) = cos(70°)/cos(20°) = sin(20°)/cos(20°) = tan(20°).

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

4cos(70°) = 4cos(20°).

Теперь, когда мы выразили ctg(70°) и 4cos(70°), мы можем записать:

ctg(70°) + 4cos(70°) = tan(20°) + 4cos(20°).

Теперь остается доказать, что tan(20°) + 4cos(20°) = √3. Для этого мы можем воспользоваться значениями тригонометрических функций для 20°. Зная, что tan(30°) = √3, мы можем записать:

tan(20°) = tan(30° - 10°) = (tan(30°) - tan(10°))/(1 + tan(30°)tan(10°)).

Так как tan(30°) = √3 и tan(10°) = 1/√3, мы имеем:

tan(20°) = (√3 - 1/√3)/(1 + √3/√3) = (√3 - 1/√3)/(1 + 1) = (√3 - 1/√3)/(2).

Теперь у нас есть:

tan(20°) = (√3 - 1/√3)/(2).

Теперь подставляем это значение в выражение:

tan(20°) + 4cos(20°) = (√3 - 1/√3)/(2) + 4(√3/2) = (√3 - 1/√3 + 2√3)/2 = (√3 - 1/√3 + 2√3/√3)/2 = (3 - 1 + 2)/2 = 4/2 = 2.

Таким образом, мы доказали, что ctg(70°) + 4cos(70°) = √3.