Question

Точка М лежить усередині двогранного кута та віддалена від його граней на 5 см і 5корень с 2 см, а від ребра на 10 см. Знайдіть градусну міру двогранного кута, якщо його лінійний кут гострий

Answer 1

Ответ:

75 градусів

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Спочатку давайте розглянемо ситуацію геометрично. Ми маємо двограний кут з вершинами у точці М і додатніми кутами між сторонами кута.

Так як точка М віддалена від граней на $5 \, \text{см}$ і $5\sqrt{2} \, \text{см}$, то ми можемо утворити дві прямокутні трикутники з точкою М, гранями кута та відстанями від М до граней.

Одна сторона кута матиме довжину $5 \, \text{см}$, інша - $5\sqrt{2} \, \text{см}$. Відстань від точки М до ребра кута - $10 \, \text{см}$.

Застосуємо теорему Піфагора до кожного з прямокутних трикутників:

1. Для трикутника зі стороною $5 \, \text{см}$, відстанню $5\sqrt{2} \, \text{см}$ та гіпотенузою $x$ (ребро кута):

$x^2 = 5^2 + (5\sqrt{2})^2$ $x^2 = 25 + 50$ $x^2 = 75$ $x = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \, \text{см}$

2. Для трикутника зі стороною $5\sqrt{2} \, \text{см}$, відстанню $10 \, \text{см}$ та гіпотенузою $y$ (інша грань кута):

$y^2 = (5\sqrt{2})^2 + 10^2$ $y^2 = 50 + 100$ $y^2 = 150$ $y = \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \, \text{см}$

Тепер знаємо всі сторони кута. Щоб знайти градусну міру гострого кута, можна скористатися косинусним законом для кута косинусів:

$\cos(\text{гострий кут}) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

де $a$, $b$, $c$ - сторони трикутника. В нашому випадку, $a = 5$, $b = 5\sqrt{2}$, і $c = 10$.

$\cos(\text{гострий кут}) = \frac{5^2 + (5\sqrt{2})^2 - 10^2}{2 \cdot 5 \cdot 5\sqrt{2}}$ $\cos(\text{гострий кут}) = \frac{25 + 50 - 100}{50\sqrt{2}}$ $\cos(\text{гострий кут}) = \frac{-25}{50\sqrt{2}}$ $\cos(\text{гострий кут}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos(\text{гострий кут}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Тепер потрібно знайти обернений косинус для отриманого значення, щоб знайти градусний міру гострого кута:

$\text{гострий кут} = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$