Question

Докажите что (n+21)^3 - (n+4)^3; кратно 7

Answer 1

Пошаговое объяснение:

n+21≡n(mod 7)

Рассмотрим какие остатки дают кубы чисел и кубы чисел+4 по модулю 3:

n     n³     (n+4)³

0      0      0

1        1       5³=125≡-1

Сразу получаем, что если n=1, то факт неверен

(22)³-5³=10648-125=10523=1503*7+2, т.е. не делится на 7

Answer 2

Чтобы доказать, что разность (n+21)^3 - (n+4)^3 кратна 7, мы можем воспользоваться фактом, что a^3 - b^3 делится на (a - b), если a и b являются целыми числами. Таким образом, мы можем применить это свойство, чтобы разложить выражение (n+21)^3 - (n+4)^3 следующим образом:

(n+21)^3 - (n+4)^3 = [(n+21) - (n+4)][(n+21)^2 + (n+21)(n+4) + (n+4)^2]

Сначала упростим разность (n+21) - (n+4):

(n+21) - (n+4) = n + 21 - n - 4 = 17

Теперь у нас есть:

17[(n+21)^2 + (n+21)(n+4) + (n+4)^2]

Мы видим, что 17 является простым числом, и нам нужно доказать, что выражение в скобках [(n+21)^2 + (n+21)(n+4) + (n+4)^2] также кратно 7.

Давайте рассмотрим это выражение:

[(n+21)^2 + (n+21)(n+4) + (n+4)^2]

Разделим каждое слагаемое на 7:

[(n+21)^2/7 + (n+21)(n+4)/7 + (n+4)^2/7]

Теперь давайте рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

1. (n+21)^2/7: Это слагаемое представляет собой квадрат некоторого целого числа, и его деление на 7 не влияет на целочисленность.

2. (n+21)(n+4)/7: Это произведение двух целых чисел, и его деление на 7 также не влияет на целочисленность.

3. (n+4)^2/7: Это слагаемое также представляет собой квадрат некоторого целого числа, и его деление на 7 не влияет на целочисленность.

Таким образом, каждое слагаемое в выражении [(n+21)^2 + (n+21)(n+4) + (n+4)^2]/7 является целым числом, и поэтому всё выражение кратно 7.

Таким образом, (n+21)^3 - (n+4)^3 кратно 7.