Question

Существует ли арифметическая прогрессия, в которой a3 = 6, a7 = -2, a10 = -8?​

Answer 1

Ответ:

Да, существует.

Пошаговое объяснение:

Имеем предполагаемую арифметическую прогрессию:

$(a_{n} )$ - арифметическая прогрессия, $a_{3} =6$, $a_{7} =-2$, $a_{10} =-8$.

Любой член арифметической прогрессии $a_{n}$ можно выразить через любой другой. Существует формула:

$a_{n} =a_{k}+d*(n-k)$

Где $a_{n}, a_{k}$ - члены прогрессии, $d$ - разность прогрессии, то есть то значение, на которое различаются два ближайших ее члена, $n,k$ - индексы первого и второго чисел прогрессии.

Теперь подставляем вместо $n$ и $k$ данные в условии значения, где $a_{n} = a_{7}$, а $a_{k} = a_{3}$. Получаем:

$a_{7} =a_{3}+d*(7-3)$

Найдем разность прогрессии $d$:

$a_{7}-a_{3}=d*(7-3)\\a_{7}-a_{3}=4*d\\d=\frac{a_{7}-a_{3}}{4}=\frac{(-2)-6}{4}=-2.$

Аналогичные действия проделаем для 7 и 10 члена этой прогрессии:

$a_{10} =a_{7}+d*(10-7)$

В данном случае мы также находим разность прогрессии $d$:

$a_{10} -a_{7}=d*(10-7)\\a_{10} -a_{7}=3d\\d=\frac{a_{10} -a_{7}}{3}=\frac{-8-(-2)}{3}=\frac{-8+2}{3}=\frac{-6}{3}=-2.$

Для наиболее точного ответа проделаем это для $a_{3} =6$ и $a_{10} =-8$:

$a_{10} =a_{3}+d*(10-3)$

$a_{10} -a_{3}=d*(10-3)\\a_{10} -a_{3}=7d\\d=\frac{a_{10} -a_{3}}{7}=\frac{-8-6}{7}=\frac{-14}{7}=-2.$

Так как разность прогрессии во всех случаях получилась одинаковая. то такая арифметическая прогрессия существует. И это убывающая арифметическая прогрессия, так как её разность отрицательная.

Answer 2

Да, существует арифметическая прогрессия, в которой a3 = 6, a7 = -2 и a10 = -8. Давайте найдем шаг (разность) этой прогрессии.

1. Используем формулу общего члена арифметической прогрессии:

a_n = a_1 + (n - 1) * d,

где a_n - n-й член прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, n - порядковый номер члена, d - разность прогрессии.

2. Мы знаем, что a3 = 6, a7 = -2 и a10 = -8.

a_3 = a_1 + (3 - 1) * d = a_1 + 2d = 6, a_7 = a_1 + (7 - 1) * d = a_1 + 6d = -2, a_10 = a_1 + (10 - 1) * d = a_1 + 9d = -8.

3. Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными (a_1, d и a_3). Мы можем решить эту систему:

a_1 + 2d = 6, a_1 + 6d = -2, a_1 + 9d = -8.

4. Выразим a_1 из первого уравнения:

a_1 = 6 - 2d.

5. Подставим это значение во второе и третье уравнения:

(6 - 2d) + 6d = -2, (6 - 2d) + 9d = -8.

6. Решим эти уравнения:

4d = -8, 7d = -14.

7. Найдем значение d:

d = -8 / 4 = -2, d = -14 / 7 = -2.

8. Мы видим, что разность d равна -2 в обоих случаях, что подтверждает, что это является разностью арифметической прогрессии.

Теперь мы можем найти первый член a_1, используя любое из уравнений, например:

a_1 = 6 - 2d = 6 - 2 * (-2) = 6 + 4 = 10.

Таким образом, в данной арифметической прогрессии a_1 = 10, а разность d = -2.