Question

Найдите общее решение дифференциального уравнения y′′+2y′−8y=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y′′+2y′−8y=0

составим характеристическое уравнение:

t²+2t-8=0⇒t₁=-4, t₂=2

корни действительные и разные, следовательно, решение дифференциального уравнения имеет вид:

$y=C_{1}e^{-4x}+C_{2}e^{2x}$

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения второго порядка, представим его характерное уравнение и используем метод характеристического многочлена. Данное дифференциальное уравнение имеет вид:

y'' + 2y' - 8y = 0

Характеристическое уравнение будет следующим:

r^2 + 2r - 8 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Можно воспользоваться дискриминантом D:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 2 и c = -8. Тогда:

D = 2^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

Дискриминант положителен, что означает, что у нас есть два действительных корня. Их можно найти с помощью квадратного корня:

r1,2 = (-b ± √D) / (2a)

r1,2 = (-2 ± √36) / (2 * 1)

r1,2 = (-2 ± 6) / 2

Таким образом, получаем два корня:

r1 = 2 и r2 = -4

Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения с использованием этих корней:

y(t) = c1 * e^(2t) + c2 * e^(-4t)

где c1 и c2 - произвольные постоянные, которые могут быть найдены из начальных условий, если они предоставлены.