Question

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка 15y′′+11y′+2y=0

Answer 1

Пусть $y=e^{ax}$. Получим соответствующее характеристическое уравнение.

$15a^2+11a+2=0$

$D=11^2-4*15*2=121-120=1$

$x_1=\dfrac{-11+1}{2\cdot15}=-\dfrac{10}{30}=-\dfrac{1}{3}$

$x_2=\dfrac{-11-1}{2\cdot15}=-\dfrac{12}{30}=-\dfrac{2}{5}$

Выполнив обратную замену, найдём общее решение соответствующего дифференциального уравнения

$y=C_1e^{-x/3}+C_2e^{-2x/5}$

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения второго порядка, вы можете воспользоваться методом характеристических уравнений. Общий вид линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет следующий вид:

ay'' + by' + cy = 0

В вашем случае a = 15, b = 11 и c = 2. Теперь найдем характеристическое уравнение, заменяя a, b и c:

15r^2 + 11r + 2 = 0

Далее, используем квадратное уравнение для нахождения корней r:

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

r = (-11 ± √(11^2 - 4 * 15 * 2)) / (2 * 15)

Теперь вычислим значения r:

r1 = (-11 + √(121 - 120)) / 30 r1 = (-11 + √1) / 30 r1 = (-11 + 1) / 30 r1 = -10 / 30 r1 = -1/3

r2 = (-11 - √(121 - 120)) / 30 r2 = (-11 - √1) / 30 r2 = (-11 - 1) / 30 r2 = -12 / 30 r2 = -2/5

Теперь, когда у нас есть корни характеристического уравнения (r1 и r2), мы можем записать общее решение дифференциального уравнения:

y(t) = c1 * e^(r1 * t) + c2 * e^(r2 * t)

где c1 и c2 - произвольные постоянные. Таким образом, общее решение вашего дифференциального уравнения будет:

y(t) = c1 * e^(-t/3) + c2 * e^(-2t/5)

где c1 и c2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий или других ограничений.