Question

Рита разрезала палочку длиной 1 метр на 4 куска. Оказалось, что ни из каких трёх получившихся кусков нельзя сложить треугольник. При этом длина самой длинной из этих палочек — x метров. При каком наименьшем x это возможно

Answer 1

Ответ: 3/7

Пошаговое объяснение:

Поскольку x- самая длинная палочка из разрезанных, то сумма длины этой палочки с любой другой больше длины любой из оставшихся палочек.

Пусть длины других палочек равны: a,b,c.

Причем:

x>=a>=b>=c

Тогда, поскольку треугольники состоящие из стороны x и каких-то двух из сторон a,b,c не существуют, то учитывая вышесказанное, остается только не выполнение такого неравенства треугольника: (ибо остальные неравенства, где x будет слева не могут быть не выполнены):

a+b>x

Иначе говоря, нам нужно неравенство:

a+b<=x

Неравенства:

a+c<=x и b+c<=x  являются следствием первого неравенства и условия

x>=a>=b>=c>0, поэтому эти неравенства нам не нужны.

Для треугольника, что не содержит сторону x по аналогии с предыдущими рассуждениями необходимо выполнение неравенства:

b+c<=a

Итак, мы имеем условие и два неравенства:

x>=a>=b>=c>0

a+b<=x

b+c<=a

Из неравенств:

b>=c>0

a+b<=x

b+c<=a

Следует неравенство: x>=a>=b, поэтому оно является лишним.

Основополагающими являются неравенства:

a+b<=x

b+c<=a

b>=c>=0

Поскольку разрезали палку в 1 метр, то верно равенство:

a+b+c+x  = 1

Наша цель найти такое представление:

a =nx

b = mx

c = rx

x = 1/(n+m+r +1)

Чтобы: n+m+r = t - было наибольшим и выполнялись все неравенства, что описаны выше. n = t - (m+r);  x = 1/(t+1)

При этом длина x будет наименьшей из возможных.

Сокращая обе части неравенств на x, учтя, что x>0, получим:

n+m <= 1

m+r <= n

r <= m

r>0

Или:

t-(m+r) + m <=1

m+r <= t- (m+r)

r<=m

То есть:

t-1 <= r

t>= 2(m+r)

m>=r

Откуда:

t>=2(m+r)

m>=r>=t-1

t>= 2(2(t-1))

t>= 4t - 4

3t<=4

t<= 4/3

tmax = 4/3

Откуда:

xmin = 1/(1+4/3) = 1/(7/3) = 3/7

В этом случае есть один вариант как выбрать a,b,c:                                

b=c = 1/7,  a = 2/7,  x = 3/7

Answer 2

Чтобы нельзя было сложить треугольник из ни одной из трех палочек, самая длинная из них (пусть это будет x метров) должна быть короче суммы длин оставшихся трех палочек.

В данном случае, у нас есть 4 куска палочки, и мы хотим, чтобы нельзя было сложить треугольник из ни одной из трех из них. Это означает, что самая длинная из них должна быть короче, чем сумма длин остальных трех.

Пусть x будет самой длинной палочкой, и y, z и w будут длинами остальных трех палочек.

Тогда x < y + z + w

Мы знаем, что общая длина исходной палочки составляет 1 метр, поэтому:

x + y + z + w = 1

Теперь наша задача - найти наименьшее значение x, которое удовлетворяет обоим условиям. Для этого давайте попробуем разные значения y, z и w и найдем минимальное x.

1. Попробуем x = 0.25 м (четверть метра): В этом случае, y + z + w = 1 - 0.25 = 0.75 м Но сумма любых трех из них будет больше 0.75 м, так как они должны быть больше 0.25 м. Поэтому x = 0.25 м не подходит.

2. Попробуем x = 0.3 м (три десятых метра): В этом случае, y + z + w = 1 - 0.3 = 0.7 м Сумма любых трех из них будет больше 0.7 м, так как они должны быть больше 0.3 м. Поэтому x = 0.3 м тоже не подходит.

3. Попробуем x = 0.4 м (четыре десятых метра): В этом случае, y + z + w = 1 - 0.4 = 0.6 м Сумма любых трех из них будет больше 0.6 м, так как они должны быть больше 0.4 м. Поэтому x = 0.4 м тоже не подходит.

4. Попробуем x = 0.5 м (половина метра): В этом случае, y + z + w = 1 - 0.5 = 0.5 м Теперь это возможное значение, так как сумма любых трех из них не будет больше 0.5 м (поскольку они должны быть больше 0.5 метра, и это невозможно сделать с этими кусками).

Таким образом, наименьшее значение x, при котором нельзя сложить треугольник из ни одной из трех палочек, равно 0.5 метра.