Question

Пожалуйста, помогите даю 35 баллов Три человека написали 100 разных слов. После этого, слова которые повторяются не менее двух раз зачеркнули. В результатеу одного осталось 45 слов, у другого - 68, а у третьего 54. Докажите, что хотя-бы одно слово выписали все трое.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Допустим,это не так, значит,все зачеркнутые слова повторялись 2 раза (2 человека выписали это слово).

Посчитаем кол-во вычеркнутых слов.

У 1-ого: 100-45=55

У 2-ого: 100-68=32

У 3-его: 100-54=46

Всего: 55+32+46=133 слова вычеркнули

Но мы предположили,что слова повторялись только 2 раза,а значит сумма должна быть четной (тк общее кол-во - это удвоенное количество повторяющихся слов, а при умножении на 2 ответ четный)

Противоречие,следовательно хотя бы одно слово выписали 3 человека

Answer 2

Для доказательства того, что хотя бы одно слово было выписано всеми троими, можно воспользоваться методом противоречия. Предположим, что ни одно слово не было выписано всеми троими. Это означает, что каждое слово было выписано либо одним человеком, либо двумя.

Итак, у нас есть 100 разных слов. Если ни одно из них не было выписано всеми, значит, каждое слово было выписано двумя разными людьми. Это означает, что у каждого из трех человек было бы по 100 / 2 = 50 слов.

Однако по условию у первого человека осталось только 45 слов, у второго - 68, а у третьего - 54. Это означает, что каждый из них должен был выписать хотя бы одно слово, которое не было выписано другими. Но это противоречит нашему предположению о том, что ни одно слово не было выписано всеми.

Следовательно, наше изначальное предположение о том, что ни одно слово не было выписано всеми троими, неверно. По крайней мере, одно слово было выписано всеми троими.