Question

Знайдіть знаменник нескінченно спадної геометричної прогресії, якщо сума її членів із парними номерами становить 25% від суми всіх її членів.​

Answer 1

$S = b_1 + b_2 + b_3 + ... = \frac{b_1}{1-q} \\S_1 = b_2 + b_4 + b_6 + ... = (b_1q) + (b_1q)\cdot q^2 + (b_1q)\cdot (q^2)^2 + ... = \frac{b_1q}{1-q^2} \\4S_1 = S\\\frac{4b_1q}{1-q^2} = \frac{b_1}{1-q}\\\frac{4q}{(1-q)(1+q)} = \frac{1}{1-q}\\\frac{4q}{1+q} = 1\\4q=1+q\\3q=1\\q=\frac{1}{3}$

Answer 2

Нехай р - загальний знаменник геометричної прогресії, і a - перший її член. Тоді сума всіх членів прогресії може бути виражена так:

S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...

За умовою задачі, сума членів прогресії з парними номерами становить 25% від суми всіх її членів. Це означає, що сума членів з непарними номерами також становить 25% від суми всіх членів. Тобто:

0.25S = (a + ar^2 + ar^4 + ar^6 + ...)

Тепер ми можемо поділити обидві сторони на S, щоб отримати співвідношення:

0.25 = 1 + r^2 + r^4 + r^6 + ...

Це є нескінченною геометричною прогресією зі спільним знаменником r^2 та першим членом 1. Сума нескінченної геометричної прогресії може бути обчислена за формулою:

S = a / (1 - r)

В нашому випадку:

0.25 = 1 / (1 - r^2)

Тепер можемо вирішити це рівняння щодо r:

1 - r^2 = 1 / 0.25 1 - r^2 = 4 -r^2 = 3 r^2 = -3

Оскільки r - це знаменник геометричної прогресії, то r має бути додатним числом. Отже, розв'язок не існує в реальних числах, і ця геометрична прогресія не має дійсного знаменника.