Question

Log2(3x+1)log0,5 (6x+2)<-6 помогите решить неравенство,если можно подробно описать решение!

Answer 1

Ответ:

$x\in (-\frac{1}{3};-\frac{7}{24} )\cup(1;+\infty)$

Пошаговое объяснение:

----------------------------

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, давайте разберемся с ним шаг за шагом. Ваше неравенство выглядит следующим образом:

log2(3x+1) * log0.5(6x+2) < -6

Для начала, давайте воспользуемся свойствами логарифмов, чтобы преобразовать это неравенство. Заметим, что логарифмы с разными основаниями (2 и 0.5) неудобны для сравнения. Мы можем преобразовать их к общему основанию. Воспользуемся формулой замены основания:

log2(3x+1) = log10(3x+1) / log10(2) log0.5(6x+2) = log10(6x+2) / log10(0.5)

Теперь неравенство будет выглядеть следующим образом:

(log10(3x+1) / log10(2)) * (log10(6x+2) / log10(0.5)) < -6

Следующим шагом, умножим обе стороны неравенства на log10(2) * log10(0.5), чтобы избавиться от дробей:

log10(3x+1) * log10(6x+2) < -6 * log10(2) * log10(0.5)

Теперь, давайте найдем значение правой стороны неравенства:

-6 * log10(2) * log10(0.5) ≈ 20.78

Теперь наше неравенство выглядит так:

log10(3x+1) * log10(6x+2) < 20.78

Теперь мы можем избавиться от логарифмов, взяв 10 в степени обеих сторон:

3x+1 * (6x+2) < 10^20.78

3x+1 * (6x+2) < примерно 10^20.78

Теперь наша задача - решить квадратное неравенство:

3x^2 + 8x + 2 < примерно 10^20.78

3x^2 + 8x + 2 - 10^20.78 < 0

Это квадратное уравнение имеет вид ax^2 + bx + c < 0. Для его решения, мы можем воспользоваться методом знаков:

1. Найдем корни квадратного уравнения 3x^2 + 8x + 2 = 10^20.78, чтобы определить интервалы, на которых функция положительна и отрицательна.

Для этого, сначала преобразуем уравнение:

3x^2 + 8x + 2 - 10^20.78 = 0

Теперь, используя дискриминант, найдем корни:

D = (8^2 - 4 * 3 * (2 - 10^20.78)) ≈ 6.74 * 10^41

x1 = (-8 + √D) / (2 * 3) ≈ (-8 + √(6.74 * 10^41)) / 6 x2 = (-8 - √D) / (2 * 3) ≈ (-8 - √(6.74 * 10^41)) / 6

Теперь, у нас есть корни, и нам нужно определить знак выражения 3x^2 + 8x + 2 - 10^20.78 на интервалах между корнями и за пределами корней.

2. Рассмотрим интервалы:

a) x < x1 b) x1 < x < x2 c) x > x2

На каждом из этих интервалов определим знак выражения 3x^2 + 8x + 2 - 10^20.78.

a) Подставим любое число x < x1 в выражение 3x^2 + 8x + 2 - 10^20.78. В этом случае, выражение будет отрицательным, так как x1 является корнем уравнения. Таким образом, на этом интервале выражение отрицательно.

b) Подставим любое число x между x1 и x2 в выражение 3x^2 + 8x + 2 - 10^20.78. На этом интервале выражение также будет отрицательным, так как оба корня находятся с разных сторон от этого интервала.

c) Подставим любое число x > x2 в выражение 3x^2 + 8x + 2 - 10^20.78. На этом интервале выражение будет положительным, так как x2 является корнем уравнения, и справа от x2 оно становится положительным.

Теперь мы знаем, что выражение 3x^2 + 8x + 2 - 10^20.78 отрицательно на интервалах a) и b), и положительно на интервале c).

3. Наша цель - определить, когда это выражение меньше нуля:

3x^2 + 8x + 2 - 10^20.78 < 0

Из нашего анализа выше мы знаем, что это неравенство отрицательно на интервалах a) и b).

Таким образом, решение неравенства будет:

x < x1 или x1 < x < x2

Теперь нам нужно найти точные значения x1 и x2. Для этого нам нужно использовать численные методы или калькулятор, так как x1 и x2 имеют очень большие значения из-за 10^20.78.