Question

При делении числа abc на 3 получили остаток р. Докажите, что при делении суммы цифр это- го числа на 3 тоже получится ос- таток р.

Answer 1

При делении числа $\overline{abc}$ на 3 получили остаток $p$. Тогда:

$\overline{abc}=3n+p,\ n\in\mathbb{Z}$

Распишем число $\overline{abc}$ в виде суммы:

$100a+10b+c=3n+p$

Выполним преобразования:

$99a+9b+a+b+c=3n+p$

$a+b+c=3n-99a-9b+p$

$a+b+c=3(n-33a-3b)+p$

Так как $a$ и $b$ - цифры, то есть натуральные числа, то разность $n-33a-3b$ - целое число, представляющее собой неполное частное при делении суммы $a+b+c$ на 3. Остаток в этом случае равен по-прежнему $p$.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение.

Пусть abc - это трехзначное число, которое мы делим на 3 и получаем остаток r. Таким образом, у нас есть уравнение:

abc = 3k + r, где k - целое число.

Сумма цифр этого числа - это a + b + c. Теперь мы хотим доказать, что при делении суммы цифр на 3 также получится остаток r.

Сумма цифр a + b + c также равна числу abc, поэтому:

a + b + c = abc

Теперь давайте разделим обе стороны этого уравнения на 3:

(a + b + c) / 3 = abc / 3

Так как abc делится на 3 с остатком r, то abc / 3 также будет целым числом, и остаток при делении суммы цифр a + b + c на 3 будет таким же, как остаток при делении числа abc на 3. То есть:

(a + b + c) % 3 = r

Таким образом, мы доказали, что при делении суммы цифр числа abc на 3 также получится остаток r, как и при делении самого числа abc на 3.