Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! НАЙТИ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ xy'=y+1

Answer 1

Ху = у + 1 отнимает со сторон 1 Ху-1 = у делим на у х - 1 = 1 х = 2 подставляем х

2у равно у + 1 переводим у туда у = 1

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения $xy' = y + 1$, мы можем воспользоваться методом разделяющих переменных. Давайте рассмотрим его шаг за шагом.

Шаг 1: Перепишем уравнение:

$xy' - y = 1$

Шаг 2: Теперь давайте разделим переменные, переместив все, что содержит $y$, на левую сторону, а все, что содержит $x$, на правую сторону:

$xy' - y = 1 \Rightarrow xy' - y - 1 = 0$

Шаг 3: Разделяем переменные:

$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{1}{x}$

Шаг 4: Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Давайте используем интегрирующий множитель для его решения. Интегрирующий множитель - это $\mu(x) = e^{\int{-\frac{1}{x}}dx}$, где $-\frac{1}{x}$ - коэффициент при $y$. Таким образом, $\mu(x) = e^{-\ln{|x|}} = \frac{1}{|x|}$.

Умножим обе стороны уравнения на интегрирующий множитель:

$\frac{1}{|x|}\left(\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x}\right) = \frac{1}{|x|} \cdot \frac{1}{x}$

Теперь левая сторона уравнения может быть записана как производная от $\left(\frac{y}{|x|}\right)$:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{|x|}\right) = \frac{1}{x^2}$

Шаг 5: Интегрируем обе стороны уравнения по $dx$:

$\int \frac{d}{dx}\left(\frac{y}{|x|}\right)dx = \int \frac{1}{x^2}dx$

Интегрирование дает:

$\frac{y}{|x|} = -\frac{1}{x} + C$

где $C$ - произвольная постоянная.

Шаг 6: Умножим обе стороны на $|x|$ чтобы избавиться от модуля:

$y = -1 + Cx$

Это является общим решением уравнения $xy' = y + 1$. $C$ - произвольная постоянная, и каждое значение $C$ соответствует различной частной функции, удовлетворяющей уравнению.