Question

Найти все значения параметра a, при которых ровно один корень уравнения удовлетворяет x^2 + 2(a-1)x + 3a + 1 = 0 неравенству x < -1.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

В этой задаче есть два хороших способа к решению. Полностью аналитический и схематично-графический. Я люблю решать графически, но аналитический метод тоже покажу.

Способ 1: схематично-графический

Введем функцию $f(x)=x^2 + 2(a-1)x + 3a + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Изобразим возможные расположения графика, которые удовлетворяют условию задачи (я рисовать не буду; если у вас появятся вопросы, пишите; будет время отвечу)

Опишем эти случаи:

$f(-1)$                 /или/                 $\left\{\begin{array}{c}D=0\\x_0$

Замечу, что в первом случае писать условие $D>0$ нет необходимости, так как, если какой-то элемент параболы ниже оси OX, то корня заведомо будет два.

Выполним необходимые вычисления:

$f(-1)=a+4$

$D=4a^2-20a$

$x_0=1-a$, где $x_0$ - это координата вершины параболы $f(x)$.

Перепишем случаи, опираясь на записанные выше данные:

$a+4$                 /или/                 $\left\{\begin{array}{c}4a^2-20a=0\\1-a$

Решая полученное, приходим к ответу:

$a\in(-\infty;\;4)\cup\{5\}$

Способ 2: аналитический

Уравнение $x^2 + 2(a-1)x + 3a + 1 = 0$ является квадратным, а значит его можно решить относительно $x$ через дискриминант, причем сразу поделим его на 4, чтобы упростить счет (можно не делить, но цифры вначале будут менее приятные):

$\dfrac{D}{4}=a^2-5a$

При $\dfrac{D}{4}>0$ (то есть, когда $a\in(-\infty;\;0)\cup(5;\;+\infty)$):

Выразим корни уравнения:

$\left[\begin{array}{c}x_1=1-a+\sqrt{a^2-5a}\\x_2=1-a-\sqrt{a^2-5a}\end{array}\right;$

Хорошо видно, что $x_1>x_2$. Тогда, если $x_1$, то $x_2$ тоже меньше минус единицы, что нас не устраивает. Поэтому здесь возможет единственный случай:

$\left\{\begin{array}{c}1-a+\sqrt{a^2-5a}\ge-1\\1-a-\sqrt{a^2-5a}$

Учитывая все выше сказанное приходим к тому, что $a\in(-\infty;\;-4)$.

При $\dfrac{D}{4}=0$ (то есть, когда $a=0$ или $a=5$):

В этом случае корни совпадают, то есть $x=1-a$. Наша задача состоит в том, чтобы подчинить его условию $x$, что возможно, если $a>2$. Данный случай достижим либо при $a=0$, либо при $a=5$. Так как $a>2$, то подходит только $a=5$.

Объединим найденное:

$a\in(-\infty;\;4)\cup\{5\}$

Задание выполнено!

Answer 2

Чтобы найти все значения параметра a, при которых ровно один корень уравнения x^2 + 2(a-1)x + 3a + 1 = 0 удовлетворяет неравенству x < -1, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Начнем с рассмотрения дискриминанта квадратного уравнения. Дискриминант D определяется следующим образом: D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.

2. Поскольку нам нужно найти значения параметра a, при которых ровно один корень уравнения удовлетворяет неравенству x < -1, то дискриминант D должен быть равен нулю, и этот корень должен быть меньше -1.

3. Уравнение D = 0 для данного уравнения выглядит следующим образом: (2(a-1))^2 - 4(3a + 1) = 0.

4. Решим уравнение для D = 0:

   (2(a-1))^2 - 4(3a + 1) = 0

   Упростим и решим:

   4(a^2 - 2a + 1) - 12a - 4 = 0 4a^2 - 8a + 4 - 12a - 4 = 0 4a^2 - 20a = 0 4a(a - 5) = 0

5. Теперь найдем корни этого уравнения:

   a = 0 и a = 5

6. Проверим, удовлетворяют ли корни неравенству x < -1:

   Для a = 0: Подставим a = 0 в исходное уравнение: x^2 + 2(0-1)x + 3(0) + 1 = x^2 - 2x + 1 Найдем корни этого уравнения: x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0 Уравнение имеет один корень x = 1, который не удовлетворяет неравенству x < -1.

   Для a = 5: Подставим a = 5 в исходное уравнение: x^2 + 2(5-1)x + 3(5) + 1 = x^2 + 8x + 16 Найдем корни этого уравнения: x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 = 0 Уравнение имеет один корень x = -4, который удовлетворяет неравенству x < -1.

Итак, значение параметра a = 5 удовлетворяет условию, при котором ровно один корень уравнения удовлетворяет неравенству x < -1.