Question

Найдите наименьшее значение (3x²+2)²+(y²-6)²+19​

Answer 1

Если попытаться решить логически: выводя "y", в конце придется обходить скобку (y²-6)², поэтому можно сказать, что значение этой скобки должно быть минимальным. Подставляем как обычно 0, 1, 2 и приходим к выводу, что "0" даёт наименьший результат (0²-6=-6).

Ответ: 0.

Если найдется решение достойней, удалю это.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции f(x, y) = (3x² + 2)² + (y² - 6)² + 19, необходимо найти минимум данной функции. Для этого можно воспользоваться методом частных производных и приравнять их к нулю.

1. Найдем частную производную по x и приравняем ее к нулю:

d/dx [(3x² + 2)² + (y² - 6)² + 19] = 0

Сначала найдем производную по x для первого слагаемого: d/dx [(3x² + 2)²] = 2(3x² + 2) * 6x = 36x(3x² + 2)

Теперь найдем производную по x для второго слагаемого, но учтем, что y - это константа: d/dx [(y² - 6)²] = 0, так как y - константа

Таким образом, у нас остается только одно слагаемое, зависящее от x:

36x(3x² + 2) = 0

Теперь приравняем это к нулю и найдем значения x:

36x(3x² + 2) = 0

Тут есть два случая:

1. 36x = 0, что дает x = 0.
2. 3x² + 2 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней.

Итак, для x имеем два возможных значения: x = 0 и корни, которые не влияют на минимум функции.

2. Теперь найдем частную производную по y и приравняем ее к нулю:

d/dy [(3x² + 2)² + (y² - 6)² + 19] = 0

Сначала найдем производную по y для первого слагаемого, но учтем, что x - это константа: d/dy [(3x² + 2)²] = 0, так как x - константа

Теперь найдем производную по y для второго слагаемого: d/dy [(y² - 6)²] = 2(y² - 6) * 2y = 4y(y² - 6)

Таким образом, у нас остается только одно слагаемое, зависящее от y:

4y(y² - 6) = 0

Теперь приравняем это к нулю и найдем значения y:

4y(y² - 6) = 0

Тут есть два случая:

1. 4y = 0, что дает y = 0.
2. y² - 6 = 0, что дает y = ±√6.

Итак, для y имеем три возможных значения: y = 0 и y = ±√6.

3. Теперь подставим найденные значения x и y в исходную функцию f(x, y) и найдем соответствующие значения функции:

a) f(0, 0) = (3*0² + 2)² + (0² - 6)² + 19 = 2² + (-6)² + 19 = 4 + 36 + 19 = 59.

b) f(0, √6) = (3*0² + 2)² + (√6² - 6)² + 19 = 2² + (6 - 6)² + 19 = 4 + 0 + 19 = 23.

c) f(0, -√6) = (3*0² + 2)² + (-√6² - 6)² + 19 = 2² + (6 - 6)² + 19 = 4 + 0 + 19 = 23.

Итак, наименьшее значение функции f(x, y) равно 23, и оно достигается при x = 0 и y = ±√6.