Question

Найдите все возможные действительные значения переменной x, если (х^2-2)(1-/x^2+1)=-1

Answer 1

(x²-2)(1 - √(x² +1) ) = -1

√(x² +1) =а ,a>0 ⇒ x² +1=а² , х²=а²-1.

(а²-1 -2) (1-а)=-1,

(а²-3) (1-а)=-1,

а³ - а² - 3а +2=0 ⇒ а=2 корень ( подбор) .

(а-2)( а²+а-1)=0 ,

а²+а-1=0 , D=5 , a₁=( -1+√5)/2 , a₂= (-1-√5)/2 , (-1-√5)/2 <0 не подходит ,a>0 .

√(x² +1) =2 ,2>0 ⇒ x²+1=4 , x=±√3

√(x² +1) =( -1+√5)/2 , ( -1+√5)/2>0 ⇒ (x² +1) =( 1-2√5+5)/4 ,

x² =( 6-2√5-4)/4 ,

x² =( 1-√5)/2 , ( 1-√5)/2<0 корней нет

Ответ. x=±√3

Answer 2

Давайте решим уравнение (x^2 - 2)(1 / (x^2 + 1)) = -1:

1. Умножим обе стороны на (x^2 + 1), чтобы избавиться от дроби: (x^2 - 2)(x^2 + 1) = -1(x^2 + 1).

2. Раскроем скобки: x^4 - 2x^2 + x^2 - 2 = -x^2 - 1.

3. Упростим выражение: x^4 - x^2 - 1 = -x^2 - 1.

4. Теперь прибавим x^2 и 1 к обеим сторонам уравнения: x^4 = 0.

5. Извлечем корень четвертой степени из обеих сторон: x^2 = 0.

6. Возьмем квадратный корень: x = 0.

Таким образом, уравнение имеет единственное действительное решение x = 0.