Question

The ends of the hands of a large clock (that is the hour hand and the minute hand) are 1m apart at 12:00 and 7 m apart at 18:00. How far apart were they at 15:00

Answer 1

Відповідь:

5 m

Покрокове пояснення:

Хвилинна стрілка довша від годинної. Коли час 12:00, відстань між кінцями стрілок дорівнює різниці довжин хвилинної і годинної стрілок. Коли час 18:00, відстань між кінцями стрілок дорівнює сумі довжин стрілок. Коли час 15:00, відстань між кінцями стрілок - це довжина гіпотенузи прямокутного трикутника, з катетами, що дорівнюють довжинам стрілок.

1) нехай m - довжина хвилинної стрілки; h - довжина годинної стрілки. Тоді:

2)  m - h  =  1,

     m + h  =  7;

Звідси

3) m = 4 (м), h = 3 (м)

4) Довжина гіпотенузи за теоремою Піфагора:

x = sqrt(m^2 + h^2);

x = sqrt(16 + 9) = sqrt(25) = 5 (м);

Відповідь: довжина між кінцями стрілок о 15:00 дорівнює 5 метрів.

Answer 2

To solve this problem, we can consider the movement of the hour and minute hands separately and then calculate the distance between their ends using the Pythagorean theorem.

First, let's find out how much each hand moves between 12:00 and 15:00 and between 12:00 and 18:00.

The minute hand of a clock completes one full rotation every 60 minutes. At 12:00, the minute hand is pointing at 12 and at 15:00, it is pointing at 3. So, in 3 hours, the minute hand moves $\frac{3}{60} \times 360^\circ = 18^\circ$.

The hour hand completes one full rotation every 12 hours. In 3 hours, it moves $\frac{3}{12} \times 360^\circ = 90^\circ$.

Now, let's calculate the positions of the hands at 15:00:

1. Minute Hand: At 15:00, the minute hand is pointing at 3, which is 90 degrees from 12.

2. Hour Hand: At 15:00, the hour hand is pointing between 3 and 4. To find the exact position, we can calculate how far it has moved from 3.

   The hour hand moves 0.5 degrees for every minute ($\frac{1}{2} \times \frac{360^\circ}{60} = 6^\circ$ per minute). From 12:00 to 15:00, it moves $6^\circ \times 180 \text{ minutes} = 1080^\circ$.

   So, at 15:00, the hour hand is $1080^\circ \mod 360^\circ = 120^\circ$ away from 3.

Now, we can calculate the distances between the ends of the hands at 15:00 using the Pythagorean theorem:

$\text{Distance} = \sqrt{(\text{distance between minute and hour hand})^2 + (\text{difference in length of hands})^2}$

For this case:

$\text{Distance} = \sqrt{(120^\circ - 90^\circ)^2 + (7 \text{ meters} - 1 \text{ meter})^2}$ \text{Distance} = \sqrt{30^\circ^2 + 6^2} $\text{Distance} = \sqrt{900 + 36}$ $\text{Distance} = \sqrt{936}$ $\text{Distance} \approx 30.6 \text{ meters}$

So, the hands of the clock are approximately 30.6 meters apart at 15:00.