Question

Натуральные числа a и b таковы, что (a,b)=1. Какое наибольшее значение может принимать (a+100b,100a+b)?

Answer 1

Ответ:

100² – 1 = 9999

Пошаговое объяснение:

Дополненное условие: Натуральные числа a и b таковы, что НОД(a,b)=1. Какое наибольшее значение может принимать НОД(a+100·b,100·a+b)?

Решение. Обозначим

m = a+100·b, n = 100·a + b,  d = НОД(m, n) = НОД(a+100·b,100·a+b).

Теперь умножим m и n на 100:

100·m = 100·a+10000·b, 100·n = 10000·a + 100·b.

Рассмотрим разности:

100·m – n = 100·a+10000·b – (100·a + b) = 9999·b,

100·n – m = 100·b+10000·a – (100·b + a) = 9999·a.

Так как d является делителем чисел m и n, то 100·m – n и 100·n – m также делится на d. Тогда d делит также числа 9999·a и 9999·b.

Но НОД(a,b)=1, то есть числа a и b взаимно просты, поэтому d делит число 9999.  

Определим числа a и b. Положим a = 100² – 100 – 1 = 9899, b = 1. Тогда получим

n = 100·(100² – 100 – 1) + 1 = 100·(100² – 1) – 100² + 1 = (100² – 1)(100 – 1),

m = 100² – 100 – 1 + 100 = 100² – 1 = 9999 = d.

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение (a+100b, 100a+b). Мы можем воспользоваться алгоритмом Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) этих двух чисел.

Пусть d = (a+100b, 100a+b), тогда:

d делит (a+100b) и d делит (100a+b).

Теперь мы можем выразить (a+100b) и (100a+b) через их НОД и целочисленное деление:

a+100b = d * x 100a+b = d * y

где x и y - целые числа.

Теперь давайте выразим a и b через x и y:

a = (d * y - b) / 100 b = (d * x - a) / 100

Теперь у нас есть a и b, выраженные через d, x и y. Мы знаем, что (a, b) = 1, поэтому НОД a и b также равен 1.

Мы можем использовать это свойство, чтобы найти наибольшее значение d, которое удовлетворяет условию (a, b) = 1. В данном случае, наибольшее значение d будет равно 1, так как d не может быть больше 1, иначе (a, b) не будет равно 1.

Итак, наибольшее значение, которое может принимать (a+100b, 100a+b), равно 1.