Question

Числа abc и тnk не делятся на 3. Докажите, что либо abc + +mnk, либо abc — mnk делится на 3.

Answer 1

Ответ:

введём более короткие обозначения, чтоб не писать каждый раз эти числа

abc-a

mnk-m

итак, если числа а и m не делятся на 3, то при этом делении они имеют остаток либо 1, либо 2. В остальных случаях, число делится.

смотрим сумму

1) пусть у а-ост. 1

у m-ост. 2

а+m делится на 3 т.к. сумма их остатков равна 3. а 3 делится на 3...

2) пусть у а-ост. 1

у m-ост. 1

a+m не делится на 3, т.к. сумма остатков равна 2, что не кратно 3

3) пусть у а-ост. 2

у m-ост. 2

a+m не делится на 3, т.к. сумма остатков равна 4, что не кратно 3

теперь разность

1) пусть у а-ост. 1

у m-ост. 1

а-m делится на 3, т.к. 1-1=0, следовательно, никакого остатка нет, а значит, число делится на 3

2) пусть у а-ост. 2

у m-ост. 2

а-m делится на 3, аналогичное объяснение

3) пусть у а-ост. 2

у m-ост. 1

a-m не делится на 3, т.к. 2-1=1, остаток 1, значит, не делится на 3

для примера, можем подставить вместо числа а-10

вместо m-4

у обоих чисел при делении на 3 остаток 1

если рассмотреть их сумму, получим 14, что не делится на 3

разность-6, делится на 3

теперь числа, у которых остаток 2

а-11, m-5

11+5=16, не делится

11-5=6, делится

и, наконец, числа с разными остатками

a-11

m-4

а+m=15, делится

a-m=7, не делится

это просто для проверки, числа подставлять не обязательно

таким образом, мы доказали, что сумма чисел, неделящихся на 3, кратна трем в том случае, если остатки этих чисел различны. Напротив, разность чисел, неделящихся на 3, кратна трем в том случае, если остатки данных чисел одинаковые.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим два случая:

1. Первый случай: abc и mnk имеют одинаковые остатки при делении на 3.

Если abc и mnk оба дают одинаковый остаток при делении на 3, то разница abc - mnk также будет иметь тот же остаток при делении на 3, так как остаток от разности чисел равен разности остатков этих чисел.

2. Второй случай: abc и mnk имеют разные остатки при делении на 3.

Предположим, что остаток от деления abc на 3 равен a, а остаток от деления mnk на 3 равен m, где a и m - это остатки от деления на 3. Тогда либо a = m, либо a ≠ m.

• Если a = m, то abc - mnk также будет делиться на 3, так как разность двух чисел с одинаковыми остатками будет иметь остаток 0 при делении на 3.

• Если a ≠ m, то abc + mnk будет делиться на 3, так как сумма двух чисел с разными остатками также будет иметь остаток 0 при делении на 3.

Таким образом, в любом случае либо abc + mnk, либо abc - mnk будет делиться на 3.