Question

Многочлен Р(х) при делении на х+1 даёт остаток 5,P(x) при делении на х+3 дает остаток 9.Каков будет остаток при делении P(x) на (х-1)(х+3)?

Answer 1

По теореме Безу: P(-1) = 5 ; P(-3) = 9.

Пусть f(x) = (x - 1)(x + 3). Делим f(x) на квадратный трёхчлен, получим

f(x) = (x - 1)(x + 3)g(x) + ax + b

где g(x) - какой-то квадратный трёхчлен, (ax + b) - остаток от деления f(x) на какой-то квадратный трёхчлен.

Подставим  x = -1 и x = -3, получим систему уравнений

$\displaystyle\left \{ {{-a+b=5} \atop {-3a+b=9}} \right.$

От первого уравнения отняв второе, получим: 2a = -4 ⇒ a = -2, тогда значение b = 5 + a = 5 - 2 = 3.

Следовательно, остаток при делении P(x) на (x-1)(x+3) равен -2x + 3

ОТВЕТ: -2x + 3.

Answer 2

Давайте воспользуемся китайской теоремой об остатках для решения этой задачи. По условию, у нас есть два уравнения:

1. $P(x) \equiv 5 \pmod{x+1}$
2. $P(x) \equiv 9 \pmod{x+3}$

Для начала, найдем чему равен многочлен при делении на $x+1$. У нас есть $P(x) \equiv 5 \pmod{x+1}$, что означает, что $P(x) = (x+1)Q(x) + 5$ для некоторого многочлена $Q(x)$.

Теперь рассмотрим уравнение $P(x) \equiv 9 \pmod{x+3}$. Это означает, что $P(x) = (x+3)R(x) + 9$ для некоторого многочлена $R(x)$.

Теперь мы можем воспользоваться китайской теоремой об остатках для нахождения $P(x)$. По этой теореме, существует единственный многочлен $S(x)$, такой что:

$S(x) \equiv 5 \pmod{x+1}$ $S(x) \equiv 9 \pmod{x+3}$

Теперь мы можем найти остаток при делении $S(x)$ на $(x-1)(x+3)$. Остаток будет равен результату подстановки $x=1$ в многочлен $S(x)$:

$S(1) = 5$

Таким образом, остаток при делении $P(x)$ на $(x-1)(x+3)$ равен 5.