Question

Число a( a>1 ) такое наименьшее натуральное, что при делении его и на 2017, и на 2018 в остатке будет 1. Найти остаток при делении числа a на 20.

Answer 1

Ответ:

7  

Пошаговое объяснение:

a = 2017· k  + 1 = 2018 · n + 1  ⇒ 2018 · n =  2017· k  ,  но  число  2017  -  простое  ⇒ n  делится  на  2017  ⇒  n = 2017·p  ⇒ a = 2018 · 2017 · p + 1  ;  так  как  a - наименьшее  и не равное  1  , то p = 1  ⇒ a = 4070307 = 20 · 203515 + 7  ⇒  остаток  равен  7

Answer 2

Чтобы найти наименьшее натуральное число $a$, которое при делении на 2017 и 2018 даёт остаток 1, нужно решить систему сравнений:

$\begin{cases} a \equiv 1 \pmod{2017} \\ a \equiv 1 \pmod{2018} \end{cases}$

Используя китайскую теорему об остатках, можно найти общее решение для этой системы.

Для $a \equiv 1 \pmod{2017}$ можно выразить это как $a = 1 + 2017k$, где $k$ - целое число.

Аналогично, для $a \equiv 1 \pmod{2018}$ можно выразить это как $a = 1 + 2018m$, где $m$ - целое число.

Подставляя одно выражение в другое:

$1 + 2017k = 1 + 2018m$

$2017k = 2018m$

Разделим обе стороны на 1:

$2017k = 2018m$

$k = \frac{2018m}{2017}$

Итак, нужно найти такое минимальное положительное целое число $m$, при котором $\frac{2018m}{2017}$ также является целым числом.

2017 и 2018 взаимно просты, поэтому $m$ должно быть кратно 2017.

Минимальное положительное целое $m$, кратное 2017, равно 2017. Таким образом, $m = 2017$, и соответственно, $k = 2018$.

Теперь мы можем найти значение $a$:

$a = 1 + 2017k = 1 + 2017 \times 2018 = 4068827$

Остаток при делении $a$ на 20 равен 7.