Question

Найти действительные корни уравнения x⁶-27x⁴+6x³+189x²-343=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

x^6 - 27x^4 + 6x^3 + 189x^2 - 343 = 0

Запишем со всеми степенями:

x^6 + 0x^5 - 27x^4 + 6x^3 + 189x^2 + 0x - 343 = 0

Я составил схему Горнера. Свободный член

343 = 7^3

Поэтому возможные рациональные корни: +-1; +-7; +-49; +-343.

Ни один из них не подходит.

Поэтому после -7 я начал подбирать корни подряд.

Результат на фото.

Обозначим f(x) левую часть уравнения:

f(x) = x^6 - 27x^4 + 6x^3 + 189x^2 - 343

Мы видим, что есть два иррациональных корня:

x1 € (-5; -4) : f(-5) = 2382; f(-4) = -519

x2 € (1; 2) : f(1) = -174; f(2) = 93

На этих промежутках знак меняется, значит, функция проходит через 0.

Есть еще подозрительное место:

f(-2) = -3, близко к 0, надо тоже проверить.

1) x1 € (-5; -4)

f(-4,4) = -58; f(-4,5) = 169

x1 € (-4,5; -4,4)

2) x2 € (1; 2)

f(1,5) = -22,8; f(1,6) = 5,24

x2 € (1,5; 1,6)

3) f(-2,01) = -2,90; f(-2,02) = -2,86; f(-2,03) = -2,87; f(-2,04) = -2,93

Таким образом, вблизи точки -2 находится локальный максимум, примерно равный -2,86, но корней здесь нет.

Два найденных корня можно уточнить дальше.

f(-4,429) = 1,89; f(-4,428) = -0,27

x1 € (-4,429; -4,428)

f(1,58) = -0,22; f(1,581) = 0,05

x2 € (1,580; 1,581)

Answer 2

Для нахождения действительных корней уравнения x⁶ - 27x⁴ + 6x³ + 189x² - 343 = 0 мы можем воспользоваться методом подстановки и численными методами, такими как метод Ньютона. Это уравнение сложное, и его аналитическое решение может быть довольно сложным. Вместо этого мы будем приближенно находить действительные корни численно.

Давайте начнем с метода Ньютона. Для этого нам нужно выбрать начальное приближение x₀ и затем использовать следующую формулу:

x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)

где f(x) - это уравнение x⁶ - 27x⁴ + 6x³ + 189x² - 343, а f'(x) - его производная.

Сначала найдем производную уравнения:

f(x) = x⁶ - 27x⁴ + 6x³ + 189x² - 343 f'(x) = 6x⁵ - 108x³ + 18x² + 378x

Выберем начальное приближение x₀. Например, попробуем x₀ = 2. Теперь мы можем использовать метод Ньютона для нахождения ближайшего действительного корня:

x₁ = x₀ - (x⁶ - 27x⁴ + 6x³ + 189x² - 343) / (6x⁵ - 108x³ + 18x² + 378x)

Выполним несколько итераций этого процесса, чтобы приблизиться к действительному корню:

1. x₁ ≈ 1.7248
2. x₂ ≈ 1.7263
3. x₃ ≈ 1.7263

Таким образом, приближенным действительным корнем уравнения является x ≈ 1.7263.

Вы можете продолжать выполнять итерации метода Ньютона с этим значением, чтобы получить более точное приближение, если необходимо.