Question

Найдите все значения параметра а , при каждом из которых наименьшее значение функции f(x) = ax+ |x^2 - 6x + 8| - 4а больше -1

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$f(x)=ax+|x^2-6x+8|-4a$

Заметим, что функция непрерывна и на бесконечностях стремится к плюс бесконечности. Тогда она имеет свой минимум при любом значении параметра.

Выполним наложение условия:

$ax+|x^2-6x+8|-4a>-1$

Нам надо найти такие значения параметра, чтобы это неравенство было истинно при любом значении переменной $x$.

Откуда перейдем к более удобному виду:

$|x^2-6x+8|+1>a(4-x)$

Слева нет параметра. Тогда эту чисть неравенства построим в координатах (x; y), понимая, что она будет фиксирована.

Справа находится параметрическая прямая, вращающаяся вокруг точки (4; 0). Ее тоже строим в той же системе координат.

Тогда задача заключается в том, чтобы сделать так, когда вся левая часть неравенства находится выше прямой.

Покажем соответствующие расположения прямой:

(см. прикрепленный файл)

В первом случае, она касается параболы $x^2-6x+9$.

Тогда:

$x^2-6x+9=a(4-x)\\x^2-6x+9-4a+ax=0\\x^2-x(6-a)-4a+9=0\\D=(6-a)^2+4(4a-9)=a^2+4a\\a^2+4a=0\\a=4\\a=0$

Здесь $a=0$ постороннее значение.

Во втором случае, прямая проходит через точку (2; 1).

$1=a(4-2)\\a=\dfrac{1}{2}$

Итого при $a\in\left(-4;\;\dfrac{1}{2}\right)$ наименьшее значение функции больше минус одного.

Задание выполнено!

Answer 2

Для найменування всіх значень параметра "a", при яких мінімальне значення функції f(x) = ax + |x^2 - 6x + 8| - 4a більше -1, ми спростимо задачу.

Спочатку розглянемо вираз |x^2 - 6x + 8|. Цей вираз є модулем виразу x^2 - 6x + 8, тобто він завжди невід'ємний (абсолютне значення завжди не менше нуля). Тому ми можемо записати:

|x^2 - 6x + 8| >= 0

Тепер повернемося до функції f(x) = ax + |x^2 - 6x + 8| - 4a і вимагаємо, щоб вона була більше -1:

ax + |x^2 - 6x + 8| - 4a > -1

Тепер давайте розглянемо два випадки:

1. Якщо a > 0, то нерівність можна спростити, віднявши -4a з обох сторін:

ax + |x^2 - 6x + 8| > -1 + 4a

2. Якщо a < 0, то нерівність також можна спростити, віднявши -4a з обох сторін:

ax + |x^2 - 6x + 8| > -1 + 4a

Отже, незалежно від знаку "a", нам потрібно знайти значення "a", для яких наступна нерівність виконується:

|x^2 - 6x + 8| > -1 + 4a

Оскільки |x^2 - 6x + 8| завжди невід'ємний, ми можемо записати:

-1 + 4a > -1

Тобто:

4a > 0

a > 0

Отже, для всіх значень "a", які більше нуля, умова виконується. Тобто, всі позитивні значення "a" підходять.