Question

На праздник к Деду Морозу пришло много детей. Каждый со своим подарком, который принесли родители. Дед Мороз был "весел" и все принесенные подарки собрал в свой огомный мешок. А в конце праздника раздал подарки детям случайным образом. Чему равна вероятность, что хотя бы один ребенок получит подарок от своих родителей?

Answer 1

Ответ:

$P(A)=1-\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}\underset{n\to\infty}{\to} 1-\dfrac{1}{e}\approx 0.63$

Пошаговое объяснение:

Пусть всего детей было n, и у родителей по одному ребенку.

Событие A="Хотя бы один ребенок получит подарок от своих родителей" противоположно событию B="Ни один ребенок не получит подарок от своих родителей". Значит, искомая вероятность $P(A)=1-P(B)$.

Найдем количество вариантов раздачи подарков, при которых каждый ребенок получит подарок от чужих родителей.

Рассмотрим таблицу $n\times n$ (см. приложение). Столбец соответствует родителям, строка - детям, выбор ячейки на пересечении i-ой строки и j-ого столбца означает, что i-ый ребенок получил подарок от j-ых родителей [ячейки диагонали не рассматриваются, т.к. получение подарка от своих же родителей - неподходящая ситуация]. Требуется выбрать n ячеек такой таблицы так, чтобы в каждом столбце и строке была выбрана ровно одна ячейка [каждый ребенок получил подарок не от своих родителей, и каждый родитель вручил подарок не своему ребенку].

А это известная задача о расстановке ладей, не бьющих друг друга и не находящихся на одной из диагоналей, для которой было получено явное выражение числа вариантов [подробнее, например, Окунев Л. Я. Комбинаторные задачи на шахматной доске. — 1935 , с .8-14]

$Q_n=n!\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{(-1)^n}{k!}$

Всего вариантов раздачи подарков $P_n=n!$.

Но тогда $P(B)=\dfrac{Q_n}{n!}=\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}$.

Отсюда $P(A)=1-\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}=1-\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}$

________________________

Теперь рассмотрим ситуацию при $n\to\infty$

Используя разложение $e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{x^k}{k!}$, получим при $x=-1$ равенство

$\dfrac{1}{e}=\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{k!}$.

Значит, $\lim\limits_{n\to\infty}P(A)=1-\dfrac{1}{e}$

Answer 2

Для того чтобы рассчитать вероятность того, что хотя бы один ребенок получит подарок от своих родителей, давайте воспользуемся методом дополнительных событий.

Сначала определим вероятность того, что ни один ребенок не получит подарок от своих родителей, а затем вычтем эту вероятность из 1 (полная вероятность).

Предположим, что всего пришло N детей, и у каждого из них есть один подарок от родителей. Поскольку Дед Мороз раздает подарки случайным образом, то вероятность того, что конкретный ребенок не получит свой подарок равна (N - 1) / N (потому что у него всего N - 1 шансов получить подарок из N возможных подарков).

Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что ни один ребенок не получит свой подарок:

Вероятность для первого ребенка: (N - 1) / N Вероятность для второго ребенка: (N - 1) / N ... Вероятность для последнего, N-го ребенка: (N - 1) / N

Теперь, чтобы найти вероятность того, что ни один ребенок не получит подарок, мы умножаем вероятности для каждого ребенка:

((N - 1) / N) * ((N - 1) / N) * ... * ((N - 1) / N) = ((N - 1) / N)^N

Теперь, чтобы найти вероятность того, что хотя бы один ребенок получит подарок от своих родителей, вычтем эту вероятность из 1:

1 - ((N - 1) / N)^N

Это и есть искомая вероятность. В зависимости от того, сколько детей пришло на праздник, вы можете рассчитать эту вероятность.